Линейные уравнения с двумя неизвестными

Цели урока:

• Сформулировать представление о линейных уравнениях с двумя неизвестными как математических моделях реальных ситуаций.
• Сформировать у учащихся представление о решении уравнения как пары чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению ax + by + c = 0. Подчеркнуть, что таких решений бесконечно много.
• Ввести понятие графика уравнения ax + by + c = 0, пояснить, что геометрической моделью линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая.
• Изучить алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0.

Ход урока

Вступительное слово учителя. (Слайд 1.) Урок проводится при активном участии учеников.

Подготовительная работа. Решение устных упражнений.

• Найти значение выражения 8c + 12d при c = 3, d = -2.
  а) 48; б) 0; в) 34. (Слайд 2.)
   
• При каком значении d значение выражения 45 + 5d равно 70?
  а) 25; б) -5; в) 5. (Слайд 3.)
   
• Из формулы площади прямоугольника S = ab выразить переменную a.
  а) a = Sb; б) a = ; в) a = S – b. (слайд 4)
   
• Из формулы периметра прямоугольника P = 2(a + b) выразить переменную b.
  а) b = ; б) b = 2P – a; в) b = . (Слайд 5.)
   
• Составить математическую модель по условию задачи. (Слайд 6.)
  Одна хозяйка купила на рынке 2 кг яблок по цене a рублей и 3 кг слив по цене b рублей. Какова стоимость покупки?
   
• Составить математическую модель по условию задачи. (Слайд 7.)
  Одна хозяйка купила на рынке 2 кг яблок по цене a рублей и 3 кг слив по цене b рублей. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг абрикосов столько же денег, сколько первая за всю покупку. Какова цена абрикосов?

Объяснение нового материала.

Рассмотрим задачу^*. (Слайд 8.)

Купец в лавке купил чёрного и синего сукна за 150 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное – 3 рубля?

Составим таблицу по условию задачи (слайд 9). В задаче две неизвестные величины: количество синего сукна и количество чёрного сукна. Обозначим их соответственно через x и y.

Тогда математической моделью к этой задаче будет уравнение 5x + 3y = 150 или 5x + 3y – 150 = 0 (Слайд 10.), причём левая часть этого уравнения – многочлен первой степени от x и y. Полученное уравнение называют линейным уравнением с двумя неизвестными.

Как же решить такое уравнение? Решить – значит найти такие значения x и y, при которых уравнение превратится в верное равенство. Попробуем их подобрать и результаты занесём в таблицу.

Если купить 10 аршин чёрного сукна, то синего нужно купить 24 аршина. Если же синего купить 18 аршин, то чёрного – 20 аршин. Заполните таблицу полностью.

Каждая пара чисел, которая превращает уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения. Очевидно, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений. (Слайд 11.) Решения можно записывать в виде: x₁ = 24, y₁ = 10; x₂ = 12, y₂ = 30 и т. д. Наиболее удобной является запись решений в виде упорядоченных пар: (24;10), (12;30) и т. д. Следует заметить, что пары (30;0) и (0;50) не могут быть решениями задачи, так как прийдя в лавку никто не станет покупать 0 аршин сукна.

Каждой упорядоченной паре чисел можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости. Построим в системе координат точки (30;0), (24;10), (18;20), (12;30), (6;40), (0;50), выбрав удобный масштаб. Все точки расположились на прямой, которая является графиком уравнения 5x + 3y – 150 = 0. (Слайд 12.).

Прямую можно построить, зная координаты только двух её точек: точек пересечения с осями координат. Их легко найти, подставляя в уравнение вместо x и y нули.

Если y = 0, то 5x – 150 =0; x = 30. Если x = 0, то 3y – 150 =0; y = 50. Значит график пройдёт через точки (30;0) и (0;50).

Координаты любой точки прямой являются решением данного уравнения. Например (27;5), (15;25).

Подведём итоги . (Слайд 13.)

Линейным уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида
ax + by + c = 0, где a, b и c – любые числа (a и b не равны нулю одновременно). Числа a и b называются коэффициентами при неизвестных, а число c – свободным членом уравнения.
Решить уравнение – значит найти такие значения x и y, при которых уравнение превратится в верное равенство.
Каждая пара чисел, которая превращает уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения.
Уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая.

Выполнение упражнений из задачника. (слайд 14.)

§7, № 3–№ 5 – устно; № 11(а); № 14(а); № 17(а).

Домашнее задание.

§7, № 7(а); № 8(а); № 11(б); № 14(б);№ 17(б).

________________________________________________________________________

* – выделенное красным цветом учащиеся записывают в тетради.