Цели урока. Доказать теорему Пифагора, рассмотреть решение задач с её применением, показать учащимся тесную связь между алгеброй и геометрией, нацелить их на последовательную и систематическую подготовку к ГИА и ЕГЭ, познакомить учащихся с некоторыми фактами из биографии Пифагора, формировать познавательный интерес, совершенствовать приёмы устных вычислений (Презентация).
Программа урока.
I. Начало урока (инициация).
(В начале каждого урока я провожу минуту здоровья – несколько специально подобранных упражнений).
II. Сообщение целей урока. (Цели урока сообщаю частично, чтобы учащиеся могли на отдельных этапах уроках поставить их перед собой сами).
III. Подготовка к изучению нового материала.
Актуализация знаний.
(Т.к. новый материал вводится по учебнику “Геометрия, 7–9”, учебник для общеобразовательных учреждений; Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф, Кодомцев С.Б., “Просвещение”, М., 2006, то урок начинается с повторения того материала, который нужен будет при доказательстве теоремы).
На дом было задано повторить всё, что мы знаем о прямоугольном треугольнике, свойства площадей и формулы для их вычисления (Слайды 2–7).
– Какой треугольник называется прямоугольным?
– Как называются стороны прямоугольного треугольника? (Слайд 2).
– Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников, которые мы уже знаем
(Слайды 3, 4).
Блиц – вопросы:
– Один из углов прямоугольного треугольника равен 15°. Чему равны остальные
углы?
– Один из углов из углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет,
противолежащий ему, равен 13 см. Чему равна гипотенуза?
– Катет прямоугольного треугольника равен 16 дм, гипотенуза – 32 дм. Найдите
углы треугольника.
– Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников (Слайд 5).
Сначала учащиеся формулируют признаки равенства прямоугольных треугольников, а затем переходим к решению задач на доказательство по готовым чертежам.
А ещё мы повторяем свойства площадей (Слайд 6).
Блиц – вопросы:
– Сторона квадрата 1,7м. Чему равна площадь квадрата?
– А если сторона квадрата – 14 см, то чему равна его площадь?
– Площадь квадрата 225м2. Найдите его сторону (таких вопросов
может быть несколько, данные могут быть как рациональными, так и иррациональными
числами).
И, наконец, последний вопрос из повторения:
– Чему равна площадь прямоугольного треугольника? (Слайд 7).
Блиц – вопрос:
– Катеты прямоугольного треугольника 4см и 8 см. Найдите его площадь (Катеты могут выражаться и иррациональными числами).
IV. Постановка задачи, нацеливающей на изучение нового материала. (Слайд 8).
Учащиеся делают вывод, что тех знаний о прямоугольном треугольнике, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.
V. Сообщение главной цели урока. (Учащиеся пробуют сформулировать сами.)
VI. Интерактивная лекция. (Передача и объяснение информации.)
Сегодня мы узнаем ещё одну, очень важную теорему, связанную с прямоугольным треугольником.
Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором (VI в. до н. э.). Однако изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.
Эта теорема является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.
Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа (Слайд 9).
Откройте тетради, запишите число и тему урока "Теорема Пифагора".
– А кто из вас что-нибудь слышал об этой теореме? (Пифагоровы штаны на все
стороны равны.)
– Действительно, это шуточная формулировка теоремы. Почему так говорят, вы
узнаете несколько позже, а пока мы познакомимся с самой теоремой. В вашем
учебнике теорема сформулирована так:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Слайд10).
– Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC с катетами a, b, гипотенузой с?
Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:
"Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах" (Слайд 10). Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.
Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников (Слайд 11). Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. На рисунке вы видите, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны" во все стороны равны (Слайд 11).
В древние времена, доказывая эту теорему, чертили чертёж и просто говорили: “Смотри!” (Слайд 12).
Квадрат, сторона которого имеет длину a+b, можно разбить на части. Ясно, что площади четырёх равных прямоугольных треугольников на обоих рисунках одинаковы, значит, равны площади оставшихся частей.
А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Я хочу, чтобы вы попробовали доказать её сами, используя свойства площадей и метод, который мы использовали при введении формул сокращённого умножения, при выводе формул площадей некоторых фигур (Слайд13).
– Итак, нам дан прямоугольный треугольник с катетами a, b, гипотенузой с.
Достроим прямоугольный треугольник c катетами a, b, гипотенузой с до квадрата со стороной a+b. (Далее доказательство сопровождается пошаговой иллюстрацией производимых действий.)
Минута отдыха. Стихотворение, посвящённое теореме (Слайд 14).
VII. Закрепление.
Мы доказали с вами одну из важнейших теорем геометрии. Давайте попробуем решить с её помощью несколько задач по готовым чертежам устно (Слайд15).
Примечание. Решая задачу а) по готовым чертежам, заметим, что уравнение X2 = 100 имеет два корня: X = 10 и X = -10. В нашей задаче X = -10 не может быть, т.к. длина отрезка (длина гипотенузы) может выражаться только положительным числом. Условимся, что при решении задачи на нахождение гипотенузы или катета будем ограничиваться только положительным корнем.
Вернёмся теперь к задаче про велосипедиста и пешехода, которую мы не смогли решить в начале урока (Слайд16). Теперь мы легко можем найти расстояние, которое будет между велосипедистом и пешеходом через 1 час.
Рассмотрим ещё две задачи не из школьного учебника.
Решение задачи индийского математика XII века Бхаскары (Слайд17) и из учебника Леонтия Магницкого (Слайд18).
И напоследок, решим задачу, подобные которой встречаются в материалах ЕГЭ (Слайды 19–23).
Предлагаю решить эту задачу, проводя её разбор от данных к вопросу. Т.к. теорема Пифагора, которую мы применим при решении этой задачи, изучена только на этом уроке, то задача полностью визуализирована, а момент применения теоремы Пифагора может быть с использованием “Помощи” или без неё в зависимости от подготовленности класса. Хочу обратить внимание на то, что учащиеся сначала сами ищут путь решения, ставят вопросы к каждому действию, а только потом указание к действию проецируется на экран для более слабых учащихся.
VIII. Подведение итогов.
Популярность теоремы настолько велика, что доказательств очень-очень много. В некоторой литературе указывается, что их более 500. Может, вы сами захотите найти другие доказательства, больше узнать о Пифагоре. На следующем уроке мы рассмотрим некоторые из них.
Закончить урок я хочу строками из стихотворения А. Шамиссо (Слайд 24).
Домашнее задание (Слайд 25).