Разработка урока алгебры и начал анализа в 11-м классе "Решение иррациональных неравенств"

Разделы: Математика


Цели урока:

дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, приучать к эстетическому и грамотному оформлению записи в тетради.

1. Организационный этап урока. (1 мин.)

Приветствие учащихся. Отметить отсутствующих учащихся.

2. Постановка цели урока (3 мин.)

- Сегодня мы продолжим отрабатывать навыки решения иррациональных неравенств, используя не только стандартные методы и способы, но и нестандартные.

(Записывается дата, тема урока)

3. Проверка домашнего задания (10 мин.)

На дом было предложено решить иррациональное неравенство:

=5- x

различными методами.

У доски 4 человека показывают свои решения. (Если учащиеся не могут показать все методы решений, то правильное решение показывается на интерактивной доске.)

1 способ

Метод равносильных преобразований.

= 5- х,

 

-

15

Ответ: [-15;1].

2 способ

Метод интервалов.

+x-5

Пусть f(x)= +x-5

D(f)=[-15;+ ОО)

f(x)=0, если

x=1.

f(10)>0

f(0)<0, значит f(x)<0 при -15<x<1, т.е. <5-x при -15<x<1.

Ответ: [-15;1].

3 способ

Метод замены переменной.

Пусть =y, где y>0, тогда x+15=y2, x=y2 -15.

Неравенство примет вид:

y<5-(y2 -15)

y<20- y2

y2 +y-20<0

(y+5)(y-4)<0

-5<y<4, так как y>0, то 0<y<4.

Выполнив обратную замену, получим:

0<<4

0<x+15<16

-15<x<1

Ответ: [-15;1]

4 способ

Функционально-графический.

Рассмотрим функции y(x)= и g(x)= в их общей области определения, т.е. на промежутке [-15;+оо). Так как y(х) - возрастающая функция, а g(х)- убывающая функция, то при условии существования значения x, при котором значения функций f и g равны, это значение единственное. Подбором находим x=1 - единственный корень уравнения

тогда y(x)<g(x) при -15<x<1.

Ответ: [-15;1]

В это время остальные учащиеся класса устно отвечают на вопросы:

а) Какие неравенства называются иррациональными?

Ответ: Иррациональными неравенствами называются неравенства, у которых неизвестные величины находятся под знаком корня.

б) Перечислите методы решения иррациональных неравенств.

Ответ: Метод интервалов, метод равносильных преобразований, метод замены переменной, функционально-графический метод.

в) Какой метод решения является основным?

Ответ: основным методом решения иррациональных неравенств является метод равносильных преобразований.

г) Что следует помнить при решении иррациональных неравенств?

Ответ: При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается равносильное неравенство, а при возведении в четную степень равносильное неравенство получается лишь, когда обе части неравенства неотрицательны.

4. Выполнение упражнений:

1) устно: найти целые решения неравенства (2 мин.): решает один ученик, другие следят за верностью рассуждений. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

+ 5 <3

Решение:

Т.к. ОДЗ неравенства: 1<х<2, то целыми решениями могут быть только числа 1 или 2. Проверкой убеждаемся, что х=2 - единственное целое решение неравенства.

2) Письменное решение неравенств.

а) У доски один учащийся решает неравенство (4 мин.) Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

Решить неравенство:

>0

Решение.

Заметим, что x2+2x+3>0 при любом значении переменной. Умножим обе части неравенства

>0 o >0 o x2-x-2>0 o (x+1) (x-2)>0

Ответ:(.

В это время другой ученик решает индивидуально на боковой доске, затем проверяется решение, исправляются ошибки. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

Решить неравенство:

>6-x

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

а)

x>6.

б) 2

<x<6.

Ответ: x>.

б) Один ученик решает у доски.

Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ. (4  мин.)

+ <

Решение.

Данное неравенство равносильно системе:

.   Понятно, что эта система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

3 ученика работают по карточкам.

№ 1.

Решить неравенство функционально-графическим методом:

+ <6.

№2.

Решить неравенство:

(x+2) >0.

№3.Решить неравенство:

3 >1

в) У доски один ученик решает, другие записывают решение в тетрадь. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ. (5 мин.)

Решить неравенство

- >1.

Решение.

Пусть 3x2 +5x+2=t, t>0.

Тогда >1, > +1.

Это неравенство равносильно системе

Отсюда 0< t <4. Теперь достаточно решить систему

3) Самостоятельная работа.

Учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется по изображению на интерактивной доске. (8 мин.)

Решить неравенство методом интервалов.

<3x-4.

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)= -3x+4.

1) D(x)=R, поскольку x2 -3x+6>0 для любого x;

2) Функция f (x) –непрерывна на R;

3) Найдем корни уравнения f(x) =0.

Данное уравнение равносильно системе:

Получаем единственный корень x=2,таким образом, f(x) сохраняет свой знак на промежутках (

Определим знак f(x) на каждом из указанных промежутков:

  • f(x)>0 на (- +4>0;
  • f(x)<0 на (2;+, так как f(3) = -9+4= -5<0.

Ответ: [2;+

5. Домашнее задание. (5 мин.) Заранее записано на интерактивной доске. Записывается в тетрадь, учитель поясняет задание, обращает внимание, что аналогичные были решены на уроке. Решить неравенства:

1. < х-1

2. < + .

3. + >3.

4. <2x+1.

5. Необязательное задание.

Найти сумму и число целых корней неравенства: >0

6. Подведение итогов урока. (3 мин.).