Урок на тему "Сумма первых n членов арифметической прогрессии"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Обеспечить успешное усвоение и закрепление темы. Выработать навыки применения формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии при решении заданий по данной теме.
  • Развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при решении заданий по теме.
  • Воспитывать интерес к предмету, терпение, трудолюбие, внимательность.

Тип урока: Урок изучения новой темы и целевого применения изученного.

Оборудование: Электронный учебник, интерактивная доска, презентационные слайды с использованием мультимедий.

Эпиграф урока: Математика есть единая симфония бесконечного. Д. Гильберт

Ход урока

  1. Организационный момент.
  2. Устный счёт.
  3. Объяснение новой темы.
  4. Закрепление темы.
  5. Задание на дом.

 

Устный счёт

1) Найти 5-й член числовой последовательности заданной формулой

Ответ: 25.

2) Найти 4-й член числовой последовательности заданной формулой

Ответ:

3) Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; …

Ответ: 3

4) Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; …

Ответ: -3

5) Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; …

Ответ: 19

6) Найдите шестой член арифметической прогрессии; если    

Ответ: 20

7) Найти 10-й член арифметической прогрессии если  

Ответ: 43

8) Найти 5-й член арифметической прогрессии если  

Ответ: 21

Работа с картой-проектом. (Технология В.М. Монахова)

Карта-проект

Учебный цикл

Тема

Микроцели

I цикл
37 уроков
1 четверть

Тема № 1
Уравнения с двумя переменными и их системы.
(13 ч)

Уметь:

  • В1.1: решать линейные уравнения с двумя переменными.
  • В1.2: решать нелинейные уравнения с двумя переменными.
  • В1.3: решать системы нелинейных уравнений с двумя переменными
  • В 1.4 решать задачи с помощью систем уравнений.

Тема № 2
Неравенства и их системы.
(14 ч)

Уметь:

  • В2.1: решать системы нелинейных неравенств с одной переменной.
  • В2.2: решать неравенства с двумя переменными.
  • В2.3: решать системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Тема № 3
Арифметическая прогрессия.
(10 ч)

Уметь:

  • В3.1: задавать числовую последовательность.
  • В3.2: применять формулу п-го члена арифметической прогрессии.
  • В3.3: применять формулу суммы первых членов арифметической прогрессии.

Это интересно: (презентация). Приложение 1

Информация о стихотворных слогах ямбе и хорее, связь их с арифметической прогрессией.

В романе А.С.Пушкина «Евгений Онегин» была такая фраза: «Не мог он ямба от хорея, как мы не бились отличить…» Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный размер с ударением на чётных слогах, хорей с ударением на нечётных слогах.

Ямб
«Мой дя-дя са-мых чест-ных пра-вил…»
2; 4; 6; 8 …

Хорей
«Бу-ря мгло-ю не-бо кро-ет»
1; 3; 5; 7; …

Объяснение темы: (презентация) Приложение 1

Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи,
Найдёшь к решению ключи.

Это интересно: (презентация). Приложение 1

Информация о задаче, которую Гаусс решил в шестилетнем возрасте.

Когда шестилетнему Гауссу предложили найти сумму всех натуральных чисел от единицы до ста, то он вероятно рассуждал так: «Сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050».

Давным-давно сказал один мудрец
Что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.

Пусть сумма первых n членов арифметической прогрессии равна тогда:

Складывая эти равенства почленно, получим:

Отсюда имеем формулу:

Теорема

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

Если учесть, что то получим

Пример 1

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии: 1; 3,5; … .

Дано:

Решение:

Ответ: 495

 

Пример 2

Найдите сумму первых 35 членов арифметической прогрессии, если её шестой член равен 31, десятый 55.

Дано:

Решение:

Ответ: 3605

 

Пример 3

Если в арифметической прогрессии первый член равен 20, разность арифметической прогрессии равен (- 0,5) и сумма п-го члена равна 371, то найдём п и ап.

Дано:

Решение:

Ответ:

 

Это интересно: (презентация). Приложение 1

Информация о задаче, которую решил шестилетний Колмогоров.

Когда шестилетний Колмогоров нашёл, что сумма первых нечётных чисел равна п2, он вероятно рассуждал так: « Возьмем число 1, 1 = 12. Представим это геометрически, как один квадратик. Теперь прибавим к единице число 3. К нашему квадратику прибавим ещё тир квадратика. Затем прибавим число 5, добавим ещё 5 квадратиков – 2 сверху. 2 справа иодин в углу. Получится квадратик 3 на 3. Девять. Каждый раз мы будем прибавлять к квадрату п на п новый уголок, состоящий из п квадратиков сверху, п квадратиков справа и одного в углу. Вот и будет получаться новый квадрат со стороной п + 1. Значит, прибавляя последовательные нечётные числа, мы всегда будем получать квадрат их количества».

Рисунок 1

Закрепление темы:

  1. Работа с атласом. (Рисунок 2)
  2. Работа с учебником: № 186, 188, 190.
  3. Нескольким учащимся раздаются дидактические карточки. Приложение 2
  4. Дозированная домашняя работа:
    Стандарт:№ 148; 150
    Хорошо: №155; 157
    Отлично: №162; 164

Подведение итогов урока: обобщение нового материала и выставление оценок за урок.