В 2008-2009 учебном году на Фестивале педагогических идей «Открытый урок» была опубликована моя статья «Программа и методические рекомендации элективного курса «Удивительное равенство в теореме Пифагора» для 9 класса». В ней указывалось, в частности, что для реализации этой программы важным является методическое обеспечение элективного курса и в приложении там есть несколько рекомендаций. В этой статье пойдет речь о некоторых аспектах методического обеспечения данного курса.
Педагогу необходимо, на мой взгляд, обратить внимание на следующие моменты:
1. Установление глубины интереса к математике учащихся.
2. Сделать подборку упражнений для гимнастики ума, чтобы ум ученика был склонен к анализу свой деятельности, а это уже учение самого себя.
3. Математика вооружает нас средствами решать задачи, а задачи ставит и сама жизнь. Наличие доказательств – вот что, прежде всего, отличает математику от других областей знаний.
4. Доказательство – это убедительное рассуждение. Решение задач на доказательство позволяет закрепить, повторить, а в некоторых случаях и углубить свои знания.
В задачах, предложенных в этой статье, мы встретимся:
а) с методом перебора (в задачи № 4 рассмотрены все случаи остатков при делении на 3);
б) с доказательством существования (задача № 5);
в) с методом от противного (задача № 4).
Есть задачи, ставящие вопросы «Как построить определенный отрезок (задача № 7), фигуру (задача № 8)?». В разделе «Мозговой штурм» есть задания, предложенные в необычной форме с целью организовать большее число учащихся для плодотворной работы, для формирования ценнейшего качества личности – настойчивости. Сделаем еще акцент на дифференцируемый подход в обучении. Сравните формулировки задания 1 и задания 3. Может быть для тех, кому математика казалась обузой, маленькие радости открытия придадут уверенности в своих силах, и возникнет стремление искать решения следующих и следующих задач.
Хотелось, чтобы, выбирая задания для работы по этой программе, учитель предвидел, что математика для некоторых его учеников станет занятием всей жизни.
I. Задачи
Задача № 1. Пловец поплыл от берега реки, всё время, гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 минут он был на противоположном берегу реки. На каком расстоянии от места начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч?
Решение:
Пловец плыл к противоположному берегу со скоростью 50 м/мин. Если бы течение его не сносило, то он попал бы в точку В. Значит, ширина реки АВ = 50 ∙ 5 = 250 (м). Но скорость течения реки 100 м/мин и за 5 минут его снесло на 100 ∙ 5 = 500 (м), т.е. ВС = 500 м. Находим АС по теореме Пифагора:
Ответ: 560 м.
Задача № 2. Для крепления мачты нужно установить четыре троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой – на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?
Решение:
Мачта у нас АВ, закреплённый трос – ВС. Его длина находится по теореме Пифагора:
На четыре таких троса уйдёт 13 ∙ 4 = 52 (м). Значит, 50 м троса не хватит для крепления мачты.
Ответ. Нет.
Задача № 3. Вершину А прямоугольника ABCD соединили с серединами сторон BC и CD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
Решение:
Предположим, что один из отрезков (АК) оказался вдвое длиннее другого (АЕ). Значит, АК = 2АЕ. Обозначим АВ = а, ВС = b. Из ∆АВЕ выразим отрезок АЕ, из ∆ADК – АК, и составим равенство:
Возводим обе части равенства в квадрат. Получили:
Так как множитель в скобках нулю не равен, следовательно, a2 = 0, а, значит, и а = 0. Этого быть не может, потому наше предположение, что АК = 2АЕ неверно.
Ответ. Один из отрезков оказаться длиннее другого вдвое не может.
Задача № 4. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике все стороны выражаются натуральными числами, то среди катетов найдется такой, длина которого делится на три.
Сведения, которые потребуются при доказательстве. Будем делить число а (делимое) на 3 (делитель). В остатке могут быть только числа 0, 1 и 2. Знаем, что делимое равно произведению делителя на частное и плюс остаток. Возможны только три равенства:
а = 3t + 0, или a = 3k + 1, или a = 3l + 2.
Рассмотрим квадраты чисел (3k + 1) и (3l + 2) и убедимся, что при делении на 3 они дают в остатке 1.
Если a2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1, получим a2 = 3(3k2 + 2k) + 1, где 3 – делитель, (3k2 + 2k) – частное, 1 – остаток.
Если a2 = (3l + 2)2 = 9l2 + 12l + 4 = (9l2 + 12l + 3) + 1 = 3(3l2 + 4l + 1) + 1. Получим
a2 = 3(3l2 + 4l + 1) + 1, где 3 – делитель, (3l2 + 4l + 1) – частное, 1 – остаток.
Если a = 3k + 0, то a2 = 9k2, a2 делится на 3, в остатке 0.
Рассмотрим сумму квадратов:
(3k + 1)2 + (3l + 2)2 = 3(3k2 + 2k) + 1 + 3(3l2 + 4l + 1) + 1 = 3(3k2 + 2k + 3l2 + 4l + 1) + 2, где 3 – делитель, (3k2 + 2k + 3l2 + 4l + 1) – частное, 2 – остаток.
Доказательство (метод от противного). Обозначим катеты прямоугольного треугольника и гипотенузу соответственно x, y и z. По теореме Пифагора z2 = x2 + y2. Пусть катеты x и y не делятся на 3 (в остатке не 0). Тогда x2 и y2 имеют остаток от деления на 3, равный 1. Их сумма x2 + y2 имеет остаток от деления на 3, равный 2. Получили противоречие. Равенство z2 = x2 + y2 не может иметь место: слева число z2 при делении на три имеет остаток 0 или 1 (смотри выше рассуждения для а и а2, они также переносятся на z и z2, а справа – (x2 + y2) имеет остаток 2.
Получили противоречие в следствие неправильного предположения. Значит, остается считать, что среди катетов x, y найдется такой, длина которого делится на 3.
Задача № 5. Могут ли стороны прямоугольного треугольника иметь такие длины, которые выражаются нечётными натуральными числами?
Решение.
Нет, если длины катетов выражаются нечётными числами, то сумма их квадратов – чётное число – проверьте это! Следовательно, гипотенуза не может быть выражена нечётным числом.
Самостоятельно докажите, что существуют прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются чётными числами.
Задача № 6. Дан отрезок АВ. Докажите, что существует бесконечно много точек X таких, что сумма квадратов отрезков ХА и ХВ одна и та же.
Доказательство.
Построим окружность, диаметром которой будет отрезок АВ. Угол, опирающийся на диаметр с вершиной Х, лежащей на окружности, прямой:
Из прямоугольного треугольника АХВ по теореме Пифагора имеем:
Из этого равенства следует, что сумма квадратов отрезков ХА и ХВ равна одному и тому же значению – АВ2. Точек Х на окружности бесконечно много:
Задача № 7. Даны отрезки а, b, с. Постройте отрезок:
Решение.
1. Строим прямоугольный треугольник с катетами а и b:
По теореме Пифагора х2 = а2 + b2. Откуда гипотенуза х:
2. Строим прямоугольный треугольник АСВ с катетом с и гипотенузой х:
ВС – искомый отрезок.
Задача № 8. Чему равна длина отрезка ААn ? Как, имея квадрат площадью, равной 1, поcтроить квадрат, площадь которого равна n (n – натуральное число)?
Решение.
Дан квадрат с площадью 1, т.е. это квадрат со стороной АА1, равной 1. Изучаем рисунок и наблюдаем закономерность:
Далее на стороне ААn строим квадрат:
Задача № 9. Придумайте задачу на теорему Пифагора, которая решалась бы с помощью системы уравнений:
Ответ. Задача: «Гипотенуза треугольника равна:
Найти катеты, если известно, что один на 2 больше другого».
II. «Мозговой штурм»
Разгадывание, назовем так, «кроссвордов по горизонтали» (Задание 1, Задание 2), криптограмм (Задание 3) преследует цель повторения основных понятий геометрии и активизацию учащихся, которые не обладают большими склонностями к математике. По образу и подобию учитель может рекомендовать учащимся самим составлять аналогичные задания. Например:
Задание 1. Правильно заполнив все клетки по горизонтали, в вертикальном выделенном столбце вы прочтете фамилию древнегреческого философа и математика.
1. Площадь квадрата со стороной корень из пяти.
2. Математик, разгадавший шифр, примененный испанцами в войне с Францией.
3. Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от данной точки О.
4. Вид уравнения.
5. Великий немецкий математик, решивший в детстве задачу о нахождении суммы чисел натурального ряда от 1 до 100.
6. Перпендикуляр, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной.
7. Параллелограмм, у которого все стороны равны.
Ответ: 1. Пять. 2. Виет. 3. Сфера. 4. Квадратное. 5. Гаусс. 6. Высота. 7. Ромб.
Задание 2. Правильно заполнив все клетки по горизонтали, в выделенных клетках по «диагонали» вы прочтете фамилию математика.
1. Число, показывающее, сколько квадратных единиц содержится в плоской фигуре.
2. Задача, в которой требуется найти общее решение двух уравнений.
3. Математик, живший в VIв. до н.э. – человек-легенда.
4. Цель, вопрос, требующий решения.
5. Тригонометрическая функция.
6. Часть прямой, ограниченная двумя точками.
7. Геометрическое тело.
Ответ: 1. Площадь. 2. Система. 3. Пифагор. 4. Задание. 5. Котангенс. 6. Отрезок. 7. Цилиндр.
Задание 3. Правильно заполните все клетки по горизонтали. В вертикальном выделенном столбце прочтите фамилию математика, который вместе со своими учениками «искал в числовых отношениях мистические тайны и откровения» [3].
1. Отрезок прямой, образующий прямой угол с данной прямой и имеющий одним из своих концов их точку пересечения, есть … к данной прямой.
2. Центр окружности есть … ее диаметра.
3. Треугольник есть геометрическая … .
4. Вертикальная ось координат, называется осью … .
5. Если треугольник …, то квадрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон.
6. Длина отрезка, соединяющего две точки на плоскости, есть … между ними.
7. … линия трапеции соединяет середины его боковых сторон.
Ответ: 1. Перпендикуляр. 2. Середина. 3. Фигура. 4. Ординат. 5. Прямоугольный. 6. Расстояние. 7. Средняя.
Задание 4. Чтобы разгадать криптограмму, надо расшифровать ключевые слова, приведенные к ней. Количество букв в ключевом слове соответствует количеству чисел в нем. Одно и то же число, встречающееся как в ключевых словах, так и в самой криптограмме, соответствует одной и той же букве. Расшифруйте формулировку важной теоремы геометрии.
Ключ к разгадыванию:
1) 19, 6, 31, 15, 10, 31,18 – геометрическая фигура;
2) 1, 13, 7, 7, 31 – результат действия сложения;
3) 2, 3, 11, 5, 18, 20, 14, 13, 8, 31 – сторона треугольника, лежащая против угла в 900;
4) 14, 20, 11, 10, 20, 10, 4, 6, 14, 11, 1, 18, 25 – свойство монотонности функции.
Ответ: 1) квадрат, 2) сумма, 3) гипотенуза, 4) непрерывность.
Формулировка теоремы: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Задание 4. Прочитайте слово здесь зашифрованное:
А1000 + Ф10000 + О10 + Р + И100000 + Г100 + П1000000.
Решение. Работает понятие «состав числа». Например, 825 = 8 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5. Разложим слагаемые в порядке убывания единицы с нулями:
П ∙ 1000000 + И ∙ 100000 + Ф ∙ 10000 + А ∙ 1000 + Г ∙ 100 + О ∙ 10 + Р.
Получили такое же расположение, как справа в примере. Запишем подобным образом, что же должно стоять слева у нас: ПИФАГОР.
Задание 5. Вы узнаете, как образовалось слово «гипотенуза», применив к зашифрованному тесту ключ!
Ответ: Греческие слова – гипо (под, внизу) и тейнейн (натягивать) образовали гипотенузу.
Задание 6. Для любознательных и неравнодушных к стиху зашифровано стихотворение Н. Дырченко, помогающее запомнить формулировку теоремы Пифагора. С помощью ключа оживут его строчки.
Ответ:
Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом;
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путём
К результату мы придем.
Задание 7. Разгадайте ребус. В ребусе содержится важная характеристика фигуры в теореме Пифагора.
Ответ: прямой угол.
Задание 8. Разгадайте ребус. В этом ребусе зашифровано имя математика, которому приписывают открытие важнейших теорем геометрии.
Ответ: Пифагор.
Список литературы
1. Карпушина Н.М. Развивающие задачи по геометрии. 8 класс. – М: Школьная Пресса, 2004. – 80 с.
2. Мантуленко В.Г., Гетманенко О.Г. Кроссворды для школьников. Математика. – Ярославль: Академия развития, 1998. – 144 с.
3. Мищенко Т.М., Лаврентьев А.А. Пифагор и теорема Пифагора // Математика для школьников. – 2004. - № 2. – С. 45-54.
4. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии: пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1999. – 286 с.
5. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.