«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого – либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях.»
А.Н. Колмогоров
Введение.
Единый государственный экзамен (ЭГЕ) – серьёзный шаг в жизни каждого выпускника, требующий и обдуманный выбор своего будущего, и обобщение знания по предмету, и умения организовать свою работу.
Экзаменационные работы по различным предметам имеют свои особенности, но во всех из них в части 1 даны задания с выбором ответа. И среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен? » Ответить на этот вопрос можно путем проведения статистического эксперимента и с использованием элементов теории вероятности.
Основная часть.
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события. Результат опыта или наблюдения называют событием. Пусть производится опыт в результате, которого может или не может произойти некоторое событие; такие события называют случайными событиями.
Для того чтобы получить положительную оценку на экзамене по математике в 2007 году достаточно было в 1 части правильно выполнить 7 заданий из предложенных 10. Каждое задание имело 4 варианта ответов, один из которых правильный.
Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли.
Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Под независимыми понимаются такие эксперименты, в которых любые события, возникающие в разных экспериментах, являются независимыми в совокупности. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p. Наступление события A обычно называют успехом, а ненаступление – неудачей.
Формула Бернулли. Обозначим Pn(m) = P(событие A наступило m раз в n испытаниях). Тогда
Pn(m) = Cmpmqn-m.
Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части.
Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)=1/4.
Вероятность дополнительного события q=P(Ā)=1-p=3/4.
Вероятность получения положительной оценки
P10(7)=C7p7q10-7
Cm=C7= 10•9…•5•4/7! =120
Pm=(1/4)7
qn-m=(3/4)10-7=(3/4)3
Pn(m)=120•(1/4)7•(3/4)3≈0,003
Следует всегда помнить следующие слова А.Н. Колмогорова: «Наше представление… было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений… Наличие у события А при определенных условиях вероятности, равной Р, проявляется в том , что почти в каждой, достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна Р»
Правильность полученных результатов проверили путем проведения статического эксперимента – предложили учащимся 10-11 классов наугад выбрать ответ в 1 части экзаменационной работы и получили следующие результаты.
| класс | кол.участ. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 и более |
| 10-А | 11 | 1 | 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 10-Б | 23 | 3 | 6 | 2 | 8 | 3 | 0 | 1 | 0 |
| 10-В | 16 | 0 | 2 | 5 | 8 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 10-Г | 19 | 0 | 0 | 6 | 2 | 8 | 3 | 0 | 0 |
| 11-А | 19 | 1 | 4 | 2 | 6 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 11-Б | 18 | 1 | 3 | 9 | 1 | 1 | 3 | 0 | 0 |
| 11-В | 15 | 2 | 4 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 11-Г | 4 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| всего | 125 | 9 | 24 | 32 | 29 | 20 | 9 | 2 | 0 |
Из 125 участников эксперимента только двое угадали 6 правильных ответов, 7 правильных ответов не угадал никто.
Исход эксперимента подтвердил правильность полученных нами результатов.
Если в 2007 году вероятность была достаточно маленькой (3 из 1000), то в 2010 году эта вероятность сведена к нулю, так как при сдаче ЕГЭ по математике в новой демоверсии первая часть (задания с выбором ответа) отсутствует.
Заключение.
Проведя данное статистическое исследование можно сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЭГЕ и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в вуз.
Результаты данного исследования можно рекомендовать сообщить ученикам выпускных классов.