Касательная к графику функции

Разделы: Математика

Вступление

Понятие касательной к кривой – одно из важнейших в курсе математики средней школы. Введение этого понятия в курсе геометрии и алгебры различаются не только по временным, но и по «идейным соображениям». Отрывочные сведения о касательной не обеспечивают целостного представления о ней.

Уроки алгебры и начала анализа 10-го классов, посвященные данной теме, дают возможность реализовать внутрипредметные и межпредметные связи. Цепочка взаимосвязанных задач, проблемные вопросы, лабораторно-практические и творческие домашние задания позволяют формировать у учащихся целостное представление о касательной к кривой. Упражнения комплексного характера не только помогают учителю развивать практические умения учеников в применении математических знаний, но и способствуют развитию интереса к предмету, показывают универсальность  использования математического аппарата.

Одной из форм проведения итогового контроля по теме «Касательная к графику функции» может быть лабораторно-практическая работа, дающая возможность проверить, как ученики овладели навыками составления уравнения касательной к кривой в точке, как они владеют понятием производной функции в точке и умеют связать это понятие с коэффициентом при независимой переменной в уравнении касательной; насколько точно умеют строить графики функций, как могут соотнести результаты аналитического решения с геометрическими построениями на координатной плоскости и обратно.

План урока:

1. Вводное слово учителя (сообщение целей урока);

2. Повторение изученного;

3. Лабораторная работа;

4. Подведение итогов;

5. Дифференцированное домашнее задание.

Цели:

  • систематизировать и закрепить знания по теме «Касательная к графику функции»;
  • развивать навыки самооценки и самоконтроля, познавательную деятельность, самостоятельность и творческую активность;
  • воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов

Оборудование:

  • миллиметровая бумага;
  • карточки с заданиями лабораторной работы.

Тип урока: контрольно-обобщающий.

Учащиеся должны знать:

  • правила вычисления производных;
  • определение углового коэффициента касательной;
  • уравнение касательной к графику функции.

Учащиеся должны уметь:

  • находить производные;
  • составлять уравнение касательной к графику функции;
  • формулировать выводы.

Упражнения, которые приводятся в учебнике, не отличаются большим разнообразием и способствуют в основном отработке навыка нахождения производной функции в точке, составлению уравнения касательной к кривой в точке и определению угла между графиком и осью абсцисс. Ни одно из упражнений учебника не требует выполнения построения графиков, хотя ученики вполне справились бы с такого рода заданием, и это позволило бы в нужной степени развить у них соответствующее умение. Между тем такие «голые» аналитические выкладки не позволяют сформировать представление о касательной как о геометрическом объекте.

I. Вводное слово учителя (сообщение целей урока);

II. Повторение изученного

В качестве закрепляющих упражнений проблемного характера можно взять следующие:

1.  Привести примеры «гладких» кривых, которые в любой точке имеют касательную.

2. Начертите графики функций, которые в некоторых точках не имеют касательных.

3. Можете ли вы назвать такие кривые, касательная к которым имеет с ней ещё одну точку пересечения.

4. Привести примеры функций, касательная к графикам которых параллельна оси абсцисс.

5. Начертить графики функций, касательные к которым на некоторых интервалах составляют острые (тупые) углы с осью абсцисс.

6. Каково «поведение» функции, если на некотором промежутке области её определения касательная к её графику составляет острый (тупой) угол с осью абсцисс?

7. Приведите примеры графиков функций, касательные к которым в некоторых их точках были бы параллельны между собой, перпендикулярны между собой, составляли бы острые или тупые углы.

III. Лабораторная работа выполняется на миллиметровой бумаге и содержит 5 заданий

1. а) Записать уравнение касательной к графику функции y =  в точке  = 2 и к графику функции  y = -  в точке  = -2.  (1 балл)

б) Построить в одной системе координат график каждой из данных функций и касательной к ним в указанных точках.  (1 балл)

2. Под каким углом график функции y = cos x пересекает ось абсцисс в точке   = П / 2.  (1 балл)

3. Найти угол между графиками функций f(x) =  и d(x) = . Постройте в системе координат угол между графиками данных функций. (2 балла)

4. На графике функции y =  - 4x + 3 найти такие точки, в которых касательная к нему параллельна прямой y = 4x + 3. Дайте геометрическую иллюстрацию этому решению.  (2 балла)

5. По графику некоторой функции, приведенному на рисунке составьте уравнение касательной к графику в точке, указанной на рисунке 1. (2 балла)


Рисунок 1

Таблица 1. Схема перевода суммарного рейтинга в пятибалльную шкалу отметок

Рейтинг

Выполнено менее
2-х заданий

3 – 4 балла

5 – 7 баллов

8 – 9 баллов

Отметка

2

3

4

5

IV. Подведение итогов

V. Домашнее задание может быть следующим:

1. Что является касательной к прямой в произвольной точке?

2. Имеет ли график функции у =  |x|   касательную в точке с абсциссой

а) -1;

б) 0;

в) 1?

3. Написать уравнение касательной к параболе у =  в точке с абсциссой

а) -1;

б) 0;

в) 1.

Сделать чертёж.

4. Написать уравнения касательных к параболам у =  и у = в точках их пересечения.

Сделать чертёж.

5. При каком значении «в» угловой коэффициент касательной к параболе у = + вх + 3 в точке пересечения её с осью ординат равен 3?

6. Написать уравнение параболы, касающейся прямой у = х в точке с координатами (1;1) и оси абсцисс.

Выполнить чертёж.

7. Написать уравнение касательной к кривой у = в точке пересечения этой кривой с осью ординат.

Выполнить чертёж.

8. Написать уравнения всех касательных к кривой у =  - 3х + 1, которые параллельны прямой 9х – у = 5.

9. Доказать, что кривые  у = 2 - 3 + 6х  и   у = 4 + 15 – 156х + 27 касаются друг друга в точке с абсциссой равной 3.