Цели:
- повторить признаки подобия треугольников;
- показать применение подобия при решении задач с практическим содержанием;
- научить учащихся мыслить логически быстро думать, принимать правильное решение;
- развивать интерес учащихся к изучаемому предмет;
- эстетическое воспитание учащихся;
- связь математики с другими предметами; с жизнью.
ХОД УРОКА
I. Повторение по конспекту признаков подобия треугольников
II. Класс делится на группы (по 4 человека в каждой группе). На выполнение каждого задания отводится 2 минуты. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом.
1. Все минет. Как льется вода,
Исчезнут в веках города,
Разрушаться стены и свободы,
Пройдут племена и народы;
Но будет звучать наш завет
Сквозь сонмы мятущихся лет !
Что в нас, то навек неизменно.
Все призрачно, бренно и тленно, –
Песнь лиры, созданье резца.
Но будем стоять до конца,
Как истина под покрывалом Изиды,
Лишь мы, Пирамид!
(В. Брюсов)
21 июля 1798 г. генерал Бонапарт произнес перед
сражением при египетских пирамидах
такие красивые слова:
«Сорок веков смотрят на вас с высоты
этих пирамид».
А как определить высоту такого огромного
сооружения ?
Самый легкий и самый древний способ без
сомнения тот, которым воспользовался
греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей
эры. Фараон и жрецы, собравшиеся у подножия
высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на
северного пришельца, отгадывавшего высоту
огромного сооружения.
Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда
длина собственной его тени равнялась его
росту; в этот момент высота пирамиды должна же
равняться длине отбрасываемой ею тени.
Конечно, длину тени надо было
считать от средней точки квадратного основания
пирамиды; ширину этого основания Фалес мог
измерить непосредственно.
Пирамида Хеопса – h = 147 м
а = 232 м
Пирамида Хефрена h = 215 м
а = 143,5 м
Кто-то может возразить, что столь элементарный прием не нуждается вовсе в геометрическом обосновании: неужели и без геометрии не ясно, что, во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее? Дело, однако, не так просто, как кажется. Попробуйте применить это правило к теням, отбрасываемым при свете уличного фонаря или лампы, - оно не оправдывается. В чем тут разница?
2. Следующий – тоже весьма несложный
способ измерения высоких предметов
картинно описан у Жюля Верна в известном
романе «Таинственный остров» ( гл. XIV).
…Взяв прямой шест, футов (1фут = 30 см)
12 длиною, инженер измерил его возможно точнее,
сравнивая со своим ростом, который был ему
хорошо известен.
Не доходя футов 500 до гранитной стены,
поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест
фута на два в песок и, прочно укрепив
его, поставил вертикально с помощью
отвеса.
Затем он отошел от шеста на такое
расстояние, чтобы, лежа на песке, можно
было на одной прямой видеть и конец шеста, и
край гребня. Эту точку он тщательно пометил
колышком
– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он
Герберта, поднимаясь с земли.
– Да
– Помнишь свойства подобных треугольников?
– Их сходственные стороны пропорциональны.
– Правильно. Так вот: сейчас я построю два
подобных прямоугольных треугольника. У меньшего
одним катетом будет отвесный шест, другим –
расстояние от колышка до основания
шеста; гипотенуза – мой луч зрения. У
другого треугольника катетами будут:
отвесная стена, высоту которой мы хотим
определить, и расстояние от колышка до
основания этой стены; гипотенуза же мой луч
зрения совпадающий с направлением гипотенузы
первого треугольника.
?
3. Описанный способ измерения высоты
неудобен тем, что вызывает
необходимость ложиться на землю. Как избежать
такого неудобства имея:
а) шест выше своего роста;
б) зеркало.
4. Переправа, переправа !
Берег левый, берег правый,
Снег шершавый, кромка льда…
Кому память, кому слава,
Кому темная вода, –
Ни приметы, ни следа.
«Василий Теркин», Александр Твардовский
Вот как однажды было на одном из фронтов
Великой Отечественной войны.
Подразделению лейтенанта Иванюка было
приказано построить мост через горную
реку. На противоположном берегу засели
фашисты.
Как, не переплывая реки, измерить ее ширину?
На СР отмеряют EF в несколько раз
меньше ЕС (например, в 4).
По направлению FК, перпендикулярному к FC,
отыскивают точку Н, из которой веха
Е кажется покрывающей точку А.
Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.
5. При помощи козырька.
Вот так этот способ пригодился
старшему сержанту Куприянову во фронтовой
обстановке. Его отделению было приказано
измерить ширину реки, через которую
предстояло организовать переправу …
Подобравшись к кустарнику вблизи реки,
отделение Куприянова залегло, а сам
Куприянов вместе с солдатом Карповым
выдвинулся ближе к реке, откуда был
хорош виден занятый фашистами берег. В
таких условиях измерять ширину реки
нужно было на глаз.
– Ну-ка, Карпов, сколько? – спросил Куприянов.
– По-моему, не больше 100-110 метров, – ответил
Карпов. Куприянов был согласен со своим
разведчиком, но для контроля решил
измерить ширину реки при помощи козырька.
В чем заключается этот способ?
Способ этот заключается в следующем. Надо
стать лицом к реке и надвинуть фуражку на
глаза так, чтобы нижний обрез козырька
точно совпал с линией противоположного
берега. (Козырек можно заменить ладонью руки
или записной книжкой, плотно приложенной
ребром ко лбу.)
Затем, не изменяя положения головы, надо
повернуться направо или налево, или
даже назад (в ту сторону, где поровнее
площадка, доступная для измерения
расстояния) и заметить самую дальнюю точку,
видимую из-под козырька ( ладони, записной
книжки).
Расстояние до этой точки и будет примерно
равно ширине реки.
Этим способом и воспользовался Куприянов.
Равные треугольники подобны с k = 1
6. В конце XIXв. возникла следующая
инженерная проблема: во многих отраслях
промышленности требовалось изготовлять
фотоснимки все более и более крупных
объектов. Сначала инженерная мысль пошла по
пути увеличения размеров фотокамер. Так, по
заказу хозяев известных американских
заводов Пульмана специально для съемки
крупногабаритных железнодорожных вагонов
в 1899 году была построена фотографическая
камера – гигант с пластинками размером 2,5 x 3 м .
Вес камеры составлял 635 кг, обслуживали ее 15
человек, на место съемки доставляли в
специальном вагоне. Огромные размеры
этого фотоаппарата, большие неудобства
его эксплуатации убедили инженеров в
бесперспективности «гигантомании». И вскоре
был изобретен очень простой и доступный
аппарат: фотоувеличитель. Он основан на
элементарной геометрической идеи –
преобразовании гомотетии. Так геометрия помогла
инженерам преодолеть серьезную техническую
трудность.
III. Домашнее задание
№1. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 0,75 м, а длинное плечо – 3,75 м. На какую высоту поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого плеча спускается на 0,5 м?
№2. Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 70 см от глаз. Найдите расстояние от столба до наблюдателя.
№3. Теннисный мяч подан с высоты 2 м 10 см и пролетел над сомой сеткой, высота 90см. на каком расстоянии от сетки мяч ударится о землю, если он подан от черты, находящийся в 12 м от сетки, и летит по прямой?
№4
Из листа железа, имеющего форму прямоугольного треугольника, вырезан квадрат. Найдите сторону полученного квадрата, если катеты треугольника равны а и b.
Отдыхая от теорем и доказательств, мозг работает в поисках правильного хода, выигрышной позиции или ответа на неожиданный вопрос с подвохом. Это не дает бездельничать пытливому разуму, приучая учащихся думать. Собственно, умение думать – это главное, что должен бы выносить из школы человек, вступающий в самостоятельную жизнь.