Известно, что даже многократное обращение к теоретическим курсам любого уровня сложности и любого качества написания не делает их более понятными без решения задач по этим курсам. Исаак Ньютон писал: “Я занимался до сих пор решением задач, ибо при изучении наук примеры важнее правил” [1].
Основная цель при решении задач – постижение физических законов, правил и определений. Так как большинство физических законов сформулировано на языке математики, то понятно, что наибольшее распространение получил так называемый аналитический метод, который является к тому же наиболее универсальным.
Однако наряду с этим методом существует ряд других, позволяющих зачастую не только упростить решение, сделать его “красивым”, но и получить ряд дополнительных преимуществ.
К этим методам относятся: графический, диаграммный, метод размерности, соображения симметрии.
Каждый из этих методов по отдельности является менее универсальным, нежели аналитический, но владение ими дает ряд преимуществ:
- Повышает культуру мышления в решении задач.
- Показывает возможность математического моделирования физических процессов не только на языке алгебры (графические и диаграммные методы).
- Раскрывает глубинную суть физических законов данной задачи (метод размерности и симметрии).
- Позволяет активно включать в процесс решения задачи по физике учащихся с развитым не только символьным, но и образным мышлением (“гуманитариев”).
- Даже при решении задачи аналитическим методом, использование альтернативных методов позволяет глубже понять задачу и найти оптимальные пути ее решения.
- Использование нескольких методов для проверки правильности решения задачи повышает вероятность того, что ответ верен, хотя, разумеется, окончательным арбитром может быть только опыт.
Данные методы в течение продолжительного времени используются преподавателями МИЭТ как при проведении занятий в физико-математических классах, так и на курсах подготовки к вступительным экзаменам [2]. Более того, хотя все вступительные задачи в МИЭТ могут быть решены с использованием аналитических методов, многие из них допускают более простое и “красивое” решение с помощью предложенных методов.
В заключении приведем ряд рекомендаций по применению указанных методов:
- метод симметрии рекомендуется применять, если анализ условия и вопросы задачи выявляет элементы симметрии. Часто соображения симметрии используются только на определенном этапе решения.
- если требуется установить характер зависимости величин друг от друга, то удобнее метод размерности.
- графический метод в силу наглядности полезно применять параллельно с любым другим методом.
- аналитический метод, как наиболее универсальный, может применяться для решения всех задач как самостоятельно, так и в комбинации с остальными.
Рассмотрим примеры применения этих и некоторых других методов.
Пример №1. Этот пример будет решён с использованием метода правдоподобных рассуждений. Определить, куда направлен вектор напряженности электростатического поля, создаваемого в точке А сферой с равномерно распределенным зарядом. Мы знаем ответ из учебника, но допустим на минуту, что там, где про это написано в учебнике, стоит большая клякса. Предположим, что поле направлено так, как на рисунке 1
Теперь повернем сферу на 180? вокруг оси, проходящей через ее центр и точку А. С одной стороны, так как заряды в пространстве изменили свое положение, мы должны получить картину поля как на рисунке 2
С другой стороны, поскольку заряды распределены по сфере равномерно, в пространстве перемещения зарядов не произошло, и вектор напряженности повернуться не может. Мы получили противоречие, выход из которого только один – вектор напряженности направлен вдоль радиуса сферы.
Пример №2. Здесь мы рассмотрим применение графического метода к задачам кинематики. Расстояние между двумя станциями поезд прошел со средней скоростью Vср=72 км/ч за время Т=20 мин. Разгон и торможение происходили с постоянными ускорениями и вместе длились ?=4 мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Какой была скорость V при равномерном движении?
Обратим внимание что ускорения, постоянные на участках разгона и торможения, могут, тем не менее, быть разными на каждом участке. Построим график зависимости скорости от времени на всем пути
Так как, по определению, средняя скорость есть отношение пройденного пути к затраченному на это времени, то можно записать:
.
Мы использовали здесь формулу для площади трапеции, численно равной пройденному пути. Теперь можно выразить скорость на участке постоянного движения:
.
Подставлять численные значения мы не станем.
Пример №3. Здесь к задаче электростатики будет применён метод векторных диаграмм. По изображенному на рисунке 4
полукольцу радиусом R равномерно распределен положительный заряд Q. Найти напряженность в центре кривизны полукольца.
С помощью правдоподобных рассуждений легко
доказать, что вектор напряженности будет
направлен от полукольца вдоль оси симметрии.
Мысленно разделим полукольцо на большое
количество N маленьких одинаковых участков.
Заряд каждого из них обозначим q. В соответствии с
принципом суперпозиции вектор напряженности 
есть сумма векторов
напряженности 
, создаваемых каждым зарядом q. Эти
вектора имеют одинаковую длину, но повернуты
относительно друг друга на некоторый угол 
. Так, разбив
полукольцо на семь участков, мы получим картину
напряженностей, как на рисунке 5
Самый левый вектор соответствует верхнему элементу полукольца, самый правый – нижнему. Если число разбиений сделать очень большим, в пределе – бесконечным, то ломаная, состоящая из векторов превратится в полуокружность, диаметр которой будет численно равен результирующей напряженности в центре полукольца. А теперь мысленно соберем все заряды q в одну точку. Тогда соответствующая векторная диаграмма для семикратного разбиения будет иметь вид как на рисунке 6
Длина этой линии численно равна 
. Но ведь это суммарная
длина ломаной, и она не зависит от числа
разбиений! Значит, при разбиении на бесконечное
число участков это будет длина полуокружности
векторного полукольца. Чтобы лучше понять это,
сделаем рисунок, в котором диаметр полукольца
обозначим буквой Е – он численно равен
напряженности результирующего поля, а длину – ЕQ,
поскольку она численно равна сумме
напряженностей, создаваемых всем зарядом Q,
собранным в точку
Понятно, что длина диаметра Е и длина дуги ЕQ связаны соотношением
.
Кроме того, 
.
Таким образом, находим связь между зарядом Q и напряженностью Е:
.
Отсюда получаем:
.
Следующие два примера демонстрируют методы симметрии и размерности.
Пример №4. В схеме, приведенной на рисунке 8
все ЭДС одинаковы, их внутренние сопротивления тоже одинаковы. Требуется найти разность потенциалов между точками А и В, если сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало.
Задачу легко можно решить аналитически, но проще и красивее решение, основанное на симметрии схемы. Действительно, если повернуть схему так, чтобы точка А перешла в точку В, то, с одной стороны, точка А должна обладать тем же потенциалом, что и раньше (так как схема обладает поворотной симметрией), а с другой – приобрести потенциал точки В. Это означает, что потенциалы точек А и В одинаковы, и их разность равна нулю.
Пример №5. Найти формулу для определения времени падения тела с некоторой высоты без начальной скорости. Ясно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то это время может зависеть только от самой высоты H и от ускорения свободного падения g. Обозначая безразмерный коэффициент через А, можем записать:
.
Теперь запишем то же выражение через размерности:
.
Обратим внимание на то, что в этой формуле уже нет и намека на безразмерный коэффициент – показатель степени у его размерности равен нулю.
Составим систему уравнений для показателей
степеней, учитывая, что слева метры стоят в
нулевой степени (
).
.
Окончательная формула имеет вид:
.
Узнать с ее помощью точное значение времени мы не можем, а оценить – вполне способны. По крайней мере, мы уже имеем представление о том, какой вид имеет зависимость времени от высоты и можем попробовать определить, хотя бы приблизительно коэффициент А другим путем, например экспериментально. Но если надо сравнить, во сколько раз дольше камень будет падать с высоты 20 метров, чем с высоты 5 метров, ответ будет точным – в два раза.
Литература.
[1] Ньютон “Всеобщая арифметика”, М. 1948 , стр. 243
[2] А.С.Овчинников, Б.М.Орлов “Сборник задач по физике и методы их решения”, Москва 1978.
[3] В.Б. Гундырев, А.С. Овчинников “Использование неаналитических методов решения задач в средней школе и при подготовке в Вуз”. Тезисы конференции “Школа и ВУЗ: достижения и проблемы физического образования”, Екатеринбург, 2002 г