Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе с применением информационных технологий на тему "Тригонометрические функции. Функции y=sin x*y=cosx"

Разделы: Математика


Основные цели

  1. Способствовать формированию и закреплению навыков перевода градусной меры в радианную и наоборот, определение угла, соответствующего точке единичной окружности и нахождения точки единичной окружности соответствующей данному углу, а также определение четверти координатной плоскости, в которой расположена эта точка.
  2. Прояснить смысл определений тригонометрических функций , связь между ними , а также закрепить основные свойства тригонометрических функций: интервалы монотонности и знакопостоянства , периодичность и четность .
  3. Усилить роль наглядности при изучении тригонометрических функций путем использования тригонометрического круга и графиков функций, возможностей интерактивной доски.
  4. Рассмотреть возможности Интернета в поиске информации о тригонометрических функциях и их свойствах.
  5. Воспитывать логическое мышление учащихся.
  6. Развивать логические операции: анализ и синтез.

Оборудование.

  • компьютер учителя.
  • презентация
  • компьютерный класс
  • интерактивная доска
  • таблицы.

Ход урока

1. Новый материал

Рассмотрим единичную окружность. Углы поворота существуют положительные и отрицательные.

Напомним, что поворотом плоскости вокруг точки О на угол называют такое геометрическое преобразование, при котором:

а) точка О отображается на себя;

б) каждый луч OX отображается на луч OX, такой, что угол XOX1=и OX=OX1.

Пусть точка Р2 единичной окружности получена при повороте точки Р0(1;0) на угол в радиан. Нетрудно понять, что ордината точки Р2 – это синус угла , а абсцисса этой точки – косинус угла .

Т.к. повороты Р2 и Р совпадают, то точка Р2 будет соответствовать не только числу , но и всем числам вида , где nZ.

Пример: Дана точка Р0(1;0). На единичной окружности постройте образцы точки Р0 при поворотах плоскости вокруг начала координат на углы величиной

И запишите их координаты.

График функции y=sinx.

Вспомним изученные свойства функции y=sinx.

Функция y=sinx

  1. Определена на всем множестве действительных чисел xR
  2. Имеет множеством значений отрезок [-1;1], поэтому ее график расположен в полосе, ограниченной прямыми y=1 и y=-1.
  3. Нечетна, поэтому ее график симметричен относительно начала координат, можно построить его часть вначале для x > 0, а часть графика для x<0 будет симметрична построенной части относительно начала координат.
  4. Периодична с наименьшим положительным периодом 2П; можно построить ее график вначале для x[0;2П] поведение функции на оставшейся части числовой прямой будет повторяться с периодом 2П.
  5. Свозрастанием x от 0 до возрастает от 0 до 1

с возрастанием x от до П убывает от 1 до 0

с возрастанием x от П до убывает от 0 до -1

с возрастанием x от до 2П возрастает от -1 до 0

6.Непрерывна на множества действительных чисел. (Этот факт принимаем без доказательства, опираясь на наглядное представление о непрерывном изменении ординаты точки, вращающейся вокруг начала координат по единичной окружности)

Теперь мы можем приступать к построению графика функции y=sinx.

График функции y=sinx называют синусоидой.

Проследим выполнение сформулированных выше свойств функции y=sinx по ее графику.

На интерактивной доске учащиеся выполняют задания.

Дополнительные упражнения:

  1. Построить график функции y=lsinxl на [] и указать промежутки, на которых функция убывает (возрастает)
  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) y = 1+2 sin x

в) y = 1+2 sin x cos x

Перед тем как мы сегодня рассмотрим построение графика функции y = cos x повторим свойства функции y = sin x.

Для построения графика косинуса напомним, cos x = sin (x + ). Следовательно значение косинуса в точке x0 + . Это означает, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на в отрицательном направлении оси Ох. Поэтому график функции y = cos х также является синусоидой.

График функции y = cos x.

Опишите свойства функции y = cos x.

Функция y = cos x :

  1. Определена на всём множестве действительных чисел: xR;
  2. Имеет множеством значений отрезок (-1;1), поэтому её график расположен в полосе, ограниченной прямыми y=1 и y=-1;
  3. Четна, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат; можно построить его часть вначале для x<0 будет симметрична построенной части относительно оси ординат;
  4. Периодична с наименьшим положительным периодом 2П; поэтому можно построить ее график для x[0;2П]; поведение функции на остальной части числовой прямой будет повторяться с периодом 2П;
  5. С возрастанием x от 0 до убывает от 1 до 0

с возрастанием x от до П убывает от 0 до -1

с возрастанием x от П до убывает от -1 до 0

с возрастанием x от до 2П возрастает от 0 до 1

6. Непрерывна на множестве действительных чисел (этот факт мы принимаем без доказательства, опираясь на наглядное представление о непрерывном изменении абсциссы точки, вращающейся вокруг начала координат по единичной окружности).

Приступим теперь к построению графика функции y=cosx.

На интерактивной доске учащиеся выполняют задания.

Дополнительные упражнения:

1. Построить график функции:

а) y = 1 + cosx

б) y = 1 + lcosxl

Указать промежутки возрастания и нули функции.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) y  = 2-cosx

б) y = 2cosx + lcosxl

в) y = sinx + cosx

Индивидуальная работа на компьютере.

1. Работа с ссылками в Интернете.

  • E-science.sources.ru
  • ru.wikipedia.org.
  • www.intuit.ru
  • www.geometr.info
  • www.krugosvet.ru – тригонометрические функции.история
  • Vreferat.ru – история тригонометрии

2. Работа по индивидуальным карточкам (Приложение )(Построение графиков тригонометрических функций в различных программах).

3.Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

,

2. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) Z

б) Z

3. Найти все углы (в радианах), на которые нужно повернуть точку Р(1;0), чтобы получить точку с координатами:

а) (0;-1)

б) (1;0)

4. Вычислить:

а) cos

б) 2sin(-

5. Упростить выражение:

а)

б)

Вариант 2.

1. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

2. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) Z

б) kZ

3. Найти все углы (в радианах), на которые нужно повернуть точку Р(1;0), чтобы получить точку с координатами:

а) (-1;0)

б) (0;1)

4. Вычислить:

а) sin

б) cos(-)*3tg(-

5. Упростить выражение:

а)

б)

Подведение итогов урока:

На доска интерактивная таблица с результатами урока.

Домашнее задание:

Подготовить компьютерную презентацию на тему: “Движения графиков тригонометрических функций”