Показательная функция в уравнениях и неравенствах . 11-й класс

Цели:

• обобщить знания учащихся по теме;
• показать, как одна из основных линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства ” (в частности – показательные уравнения и неравенства) реализуются в содержании ЕГЭ.

Оборудование: проектор, презентация.

Ход урока

Приложение 1

1. Постановка цели урока.

Отмечается, что на уроке учащиеся смогут проверить, как усвоена тема, и выделить те моменты, в которых есть пока затруднения, с тем, чтобы в дальнейшем совершенствовать свои знания. Учащиеся смогут проследить, как меняется степень сложности заданий от группы “А” до группы “С”.

2. Сообщение ученика: (Слайд 2)

Показательная функция.

• Показательной функцией называется функция вида у = а^х, где а - заданное число, а>0, а ≠ 1.
• Область определения функции - множество всех действительных чисел.
• Множество значений функции - все положительные числа.
• Показательная функция у = а^х является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если, а>1, и убывающей, если 0 < а < 1

График показательная функция имеет вид (Слайд 3).

3. Практические задания.

Учащимся предлагаются задания из части (А) (Слайд 4)

1. Укажите функцию, убывающую на всей области определения

• y = 0,5^-x;
• у =
• у =
• у = 4,5^х

Ответ: 3

2. Найдите множество значений функции у = 2^х - 3.

• (-∞; +∞);
• (-∞; -3);
• (-3; +∞);
• (3; +∞)

Ответ: 3

3. Найдите наименьшее целое значение функции у = - 3.

• -3
• -2
• 3
• 1

Ответ: 2

Самоконтроль.

Учащиеся проверяют свои результаты. (Слайд 5)

Сообщение ученика.

Рассмотрим различные способы решения 2^го задания: (Слайд 6). Графический способ.

Учитель отмечает, что необходимо владеть различными способами решения и предлагает задание: (Слайд 7)

(А4) Найдите множество значений функции у = 

• (-∞; +∞);
• (0,5; +∞);
• (-3; +∞);
• (0;0,5)

При нахождении множества значений функции сложно использовать графический способ. (Слайд 8), (Слайд 9).

(В1) Найдите наибольшее целое значение функции

При нахождении множества значений данной функции воспользуемся свойством возрастания функции,

,  где m =3- cos(2x).

Так как  -1 ≤ cos(2x) ≤ 1 , то 2 ≤ m ≤ 4. Множество значений функции   при 2 ≤ m ≤ 4, есть отрезок .

Наибольшее целое значение функции: -3. Ответ: -3.

(В2) При каком значении р функция имеет максимум в точке x_o = -2?

Рассмотрим функцию , где m = 3x² - px + 8.

Так как функция убывающая, то она будет принимать наибольшее значение при наименьшем значении m. Рассмотрим функцию: m = 3x²-px+8.  Это квадратичная функция, её графиком является парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение эта функция принимает в вершине параболы x _{вершины} =. Учитывая, что в условии задачи: функция имеет максимум в точке х_о = - 2, то остаётся решить уравнение . Откуда будем иметь: р = -12. Ответ: - 12.

(Слайд 10). (С) Найдите множество значений функции если х ≤ 1 

Решение. Область определения данной функции: (-∞; 0)(0;1); (Слайд 11)

Используя определение модуля, запишем данную функцию в виде:

у = 3^х

Изобразим в системе координат график этой функции: (Слайд 12)

  (Слайд 13)

При 0 < x ≤ 1 множество значений выражения (3^x - 4) есть интервал (-3; -1). При 0 < х множество значений выражения есть интервал (5; + +∞) .

Объединяя эти два интервала, будем иметь множество значений функции если x ≤ 1.

Ответ: (-3; -1)(5; +∞)

Учитель отмечает, что это задание можно решить с помощью уравнения с параметром.

Сообщение ученика: (Слайд 14)

4. Показательные неравенства

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств вида:

а^х > a^y или а^х < a^y .Эти неравенства решаются с помощью свойств возрастания или убывания функции: для возрастающей функции: большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции - большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

5. Практические задания.

(Слайд 15) Примеры заданий из ЕГЭ.

(А1) Решить неравенство: 3^х<81. Ответ: (-∞; 4)

(А2) Решить неравенство: . Ответ:

(А3) Решить неравенство <9. Ответ: (-1;2).

(А4) Решите показательное неравенство: . Ответ: (2,5 +∞)

(А5) Решить неравенство 16^х + 4^х - 2 > 0. Ответ:(0; +∞).

Самоконтроль. (Слайд 16) Учащиеся имеют возможность проверить себя.

(Слайд 17) Эти задания решает ученик у доски. (В1) Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства Ответ: -1.

(В2) Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решения неравенства. . Ответ: 1.

(А3) Найти область определения функции Ответ: (14; +∞)

6. Поиск “путей” решения

(Слайд 18).Учитель предлагает рассмотреть неравенство и ответить на вопрос – “ Что в этом неравенстве Вам не нравится?”

(С) Решите неравенство .

(Слайд 19)

Ответ: (-∞; 1) (2+∞).

(С) Найдите все значенья х, для которых точки графика функции

лежат ниже соответствующих точек графика функции .

Ответ: .

Сообщение ученика (Слайд 22)

Показательные уравнения.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.. Самое простое показательное уравнение имеет вид: а^х = b , где a > 0, a ≠ 1 (1)Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = log_ab при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Примеры:

Решить уравнения:

1. 2^x = -4,   
2. 2^x = 4,   
3. 2^x = 5.

Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида (1)-(3) с помощью равенств:

• a^x· a^y = a^x+y,  
• (a^x) ^y = a^x·y,  
• a^x· b^x = (ab)^x.

Например:

Решите самостоятельно. (Слайд 23)

1. Решите уравнение . Ответ: 8.
2. Решите уравнение . Ответ: 6.
3. Решите уравнение 2^х · 3^х = 36^х. Ответ: 0; 0,5.
4. Решите уравнение 2^х + = 76  Умножая обе части уравнения на 16 будем иметь

16·2^х + 3·2^х = 76·16, 19·2^х = 76·16, , 2^х = 2^2·2⁴, откуда х = 6

Ответ: х = 6

Самопроверка.

(Слайд 24) Учащиеся проверяют полученные результаты.

Рассмотрим другие способы решения показательных уравнений: (Слайд 25)

Предложенные уравнения решают на доске.

• (А1) Решить уравнения 2^x+3·2^x-4 = 76.

Вынося в левой части уравнения за скобки общий множитель 2^х-4, получаем

2^х-4 (2⁴+3) = 76,
2^х-4 · 19 = 76,
2^х-4 =4,
2^х-4 = 2²,
х = 6.

Ответ: 6.

• (А2) Решить уравнение 9^х - 4·3^х - 45 = 0. Заменой 3^х= t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t² - 4t – 45 =0. Решая это уравнение, находим его корни: t ₁ = 9, t ₂= -5. Имеем уравнение 3^х= 9, откуда х = 2, а уравнение 3^х= -5, не имеет корней. Ответ: 2.
• (А3) Решить уравнение 4^х - 28·4^-х + 3 = 0.

Умножим обе части уравнения на 4^х ≠ 0, тогда получим уравнение 4^2х + 3·4^х - 28 = 0.
Сделаем замену 4^х = t , тогда уравнение будет иметь вид t² + 3t  - 28 = 0,
откуда 4х = - 7, 4^х= 4.
Уравнение 4^х = - 7 не имеет корней.
Уравнение 4⁴= 4 имеет корень х = 1.
Ответ: 1.

• (В4) Решите уравнение 16·9^х - 25·12^х + 9·16^х = 0

Данное уравнение 16·3^2х -25·3^х -4^х + 9·4^2х = 0 сведём к квадратному уравнению, поделив обе части уравнения на 4^2х ≠ 0, тогда уравнение будет иметь вид: 16·- 25+ 9= 0.
Сделаем замену = t ,
имеем  16t ² - 25t  + 9 = 0,
откуда =1 или = .
Корни уравнения х = 0, х = 2.
Ответ: 0; 2.

• (В5) Решить уравнение 3^х+3 +3^х = 7^х+1 + 5·7^х.

Разложим левую и правую части уравнения на множители: 3^х(3³ + 1) = 7^х(7 + 5), 3^х·28 = 7^х·12, разделим обе части уравнения на 28·7^х ≠ 0, тогда уравнение примет вид: , откуда легко увидеть, что х = 1. Ответ: 1.

• (В6) Решите уравнение

Так как 3 > 0, 3≠1, то исходное уравнение равносильно уравнению |х-1|=|х+3|. Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х-1)²= (х+3)², откуда х²-2х+1=х²+6х+9,  8х = -8, х = -1. Проверка показывает что х = -1 - корень исходного уравнения. Ответ: - 1.

• (В7) Решите уравнение (4·9^х+12^х - 3·16^х) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.  =0 при , а существует этот множитель при .

• Решим уравнение 4·3^2х + 3^х·4^х·- 3·4^2х =0.

Разделим обе части уравнения на 4^2х ≠ 0, тогда уравнение примет вид: 4·+-3=0.
Сделаем замену = t , тогда уравнение можно записать в виде 4·t ²+t -3=0,
откуда = -1  или .
Уравнение = -1 не имеет корней, уравнение имеет один корень х = 1.
При х =1 второй множитель левой части уравнения обращается в нуль, но   не существует при х=1, поэтому х=1 не является корнем исходного уравнения. Уравнение (4·9^х +12^х - 3·16^х) = 0 имеет единственный корень 1,5. Ответ: 1,5.

Ученик решает на доске. (Слайд 26)

• (С) Решить уравнение 2^5х-1·3^4х+1·7^3х+3 = 504^х-2

Для решения данного уравнения разложим на простые множители число 504= 2³·3²·7. Тогда уравнение примет вид:

2^5х-1·3^4х+1·7^3х+3=(2³·3²·7)^х-2,
2^5х-1·3^4х+1·7^3х+3= 2^3(х-2) ·3^2(х-2) · 7^х-2,
2^5х-1·3^4х+1·7^3х+3 = 2^3х-6·3^2х-4·7^х-2  
разделим обе части уравнения на 2^3х-6 · 32^х-4 · 7^х-2 ≠ 0,
применяя свойства степени , будем иметь: (2·3·7)^2х+5 = 1 или 42^2х+5 = 42⁰.
Откуда получаем 2х + 5 = 0, х = -2,5.

Ответ :  -2,5.

Резервное задание

• (С) Решите уравнение

Для решения данного уравнения воспользуемся определением модуля

Пусть 2^х-1≥0, тогда уравнение примет вид: 4·(2^х -1) = 5·4^х+2 + 2^х+4 -6, применим свойства степени и выполним тождественные преобразования:

4·2^х - 4 = 5·4^х ·16 + 2^х ·16 - 6,
80·4^х + 12·2^х - 2 = 0, 
40·4^х + 6·2^х - 1 = 0.

Последнее уравнение сводится к квадратному относительно t = 2^х: 40·t² + 6·t - 1 = 0, где t - 1≥ 0. Корни квадратного уравнения:  . Но ни при одном значении t не выполняется условие t - 1 ≥ 0.

Пусть 2^х - 1< 0 тогда уравнение примет вид: 4·(1-2^х) = 5·4^х+2 + 2^х+4 -6,

4 - 4·2^х = 80·4^х + 16·2^х - 6,

80·4^х + 20·2^х - 10 = 0,8·4^х +2·2^х -1 = 0,  полагая t = 2^х, t - 1< 0, 8·t² + 2·t - 1 = 0, откуда  t₁ = , t₂ = . Условие t - 1< 0 выполняется при всех, найденных, значениях t.

Рассмотрим уравнения: 2^х = ,  2^х = . Первое уравнение не имеет решения, а из второго следует, что х = - 2. Ответ: -2.

7. Обсуждение результатов урока.
8. Постановка задачи для самоподготовки.

Учащимся предлагается подборка заданий по теме.

Приложение 1