Расстояние между скрещивающимися прямыми

Разделы: Математика


Цели и задачи:

  • образовательная – формирование и развитие у учащихся пространственных представлений; выработка навыков решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
  • воспитательная - воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми; воспитывать любовь и интерес к изучению математики.
  • развивающая – развитие у учащихся логического мышления, пространственных представлений, развитие навыков самоконтроля.

Проект соответствует следующим пунктам тематического учебного плана школьного предмета.

  1. Скрещивающиеся прямые.
  2. Признак параллельности прямой и плоскости
  3. Ортогональная проекция в пространстве.
  4. Объем многогранников.

Вступление.

Скрещивающиеся прямые — это удивительно!

Если бы их не было, жизнь была бы во сто крат менее интересной. Так и хочется сказать, что если и стереометрию стоит изучать, то из-за того, что в ней есть скрещивающиеся прямые. Сколько у них глобальных, интереснейших свойств: в архитектуре, в строительстве, в медицине, в природе.

Так хочется, чтобы наше удивление перед уникальностью скрещивающихся прямых передалось и вам. Но как это сделать?

Может быть ответом на этот вопрос будет наш проект?

Известно, что длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми.

Теорема: Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Следующая теорема дает один из способов нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость.

Основополагающий вопрос:

А можно найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения их общего перпендикуляра?

Рассмотрим задачу с кубом.

Почему с кубом? Да потому что в кубе скрыта вся геометрия, в том числе и геометрия скрещивающихся прямых.

Рис.1

Задача.

Ребро куба равно a. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба.

Применим различные методы исследования к данной задаче.

  • по определению;
  • методом проекций;
  • методом объемов;
  • методом координат.

Исследования.

Класс делится на группы по методу исследования задачи. Перед каждой группой стоит задача – показать и доказать применение данного метода для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Завершающим этапом исследования задачи являются защита проектов в виде презентаций, публикаций или сайтов. Ребята и учитель имеют возможность оценить проект каждой группы по критериям, разработанных для публикаций, презентаций.

Итак,

Метод объемов.

  • построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;
  • доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;
  • найти объём этой пирамиды двумя;
  • способами и выразить эту высоту;

Этот метод очень интересен своей нестандартностью, красотой и индивидуальностью. Метод объёмов способствует развитию пространственного воображения и умению мысленно создавать представления о форме фигур.

Решение.

В результате дополнительных построений мы получили пирамиду DAB1C.

В пирамиде DAB1C, высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB1C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC1.

Рассмотрим пирамиду Вывод: img12.GIF (980 байт) Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D:

Рис.2

Учитывая, что V1 = V2 , получим d=

- искомое расстояние.

Метод проекций.

  1. Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых.
  2. Проецируем каждую прямую на эту плоскость.
  3. Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить как расстояние между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость проекций.

Рис. 3

Использование определения скрещивающихся прямых.

Дополнительные построения: А1В, ВD, AK.

А1О ВD, ОС BD

img10.GIF (863 байт)BD пересекающимся прямым А1О и ОС

ВD (A1OC), BD Є (A1BD)

(A1OC)(A1BD), А1О – линия пересечения плоскостей.

СК (A1BD), т. е. A1DЄ (A1BD и A1BЄ (A1BD)

CK A1D, CK A1B

CD1 A1B т. е СК – искомое расстояние.

Рис.4

Метод координат.

В нашей задаче диагональ AB1 грани AA1B1BDC1, поэтому DC1 (AB1C). Определим расстояние от точки D до плоскости AB1C. Введем прямоугольную систему координат.

Рис.5

Заключение.

А сколько в геометрии скрыто очаровательных задач?! Всякий геометр понимает, что стереометрия без скрещивающихся прямых — это глупость. Да что там. Без скрещивающихся ребер нет и многогранника. А геометрия без многогранников - что это за геометрия?

В помощь учителю.

  1. Презентация “Метод объемов и проекций” (Приложение 1).
  2. Буклет о скрещивающихся прямых. (Приложение 2).
  3. Тест “Скрещивающиеся прямые” (Приложение 3).

Рис.6

26.05.2009