Конспект урока по алгебре "Арифметическая прогрессия". 9-й класс

Разделы: Математика


Образовательные цели: выработать прочные навыки действий с формулами, отработать алгоритм нахождения n-ого члена арифметической прогрессии и суммы n первых членов арифметической прогрессии, сформулировать умения работы над текстом.

Воспитательные цели: воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся.

Развивающая цель: интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика, активизация самостоятельной деятельности.

Форма урока: семинар-практикум.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Время

Содержание работы.

1 мин

Организационный момент. Объявление темы, планируемых результатов, составов групп.

3 мин

Однородные группы.

Группы выравнивания.

Группа 3
Задачи 5 (о), 6 (о), 9 (о)

Группа 4
Задачи 7 (о),8 (о), 10 (о)

Группа 1(НМ)
Зад. 1, 2, 3, 4 (м)

Группа 2(НМ)
Зад. 1, 2, 3, 4 (м)

Работают вместе с учителем.

15 мин

Самостоятельная работа.

Учитель принимает отчет групп.

25 мин

Разбор самостоятельной работы с участием учеников из группы выравнивания, достигших уровня М, которые выступают в роли экспертов.

Задача 11 (м).
С учителем.

30 мин

Срез общего уровня.

Срез минимального уровня.

43 мин.

Итог урока. Задание на дом.

Уровень Н - некомпетентные, то есть не достигшие еще минимального уровня, не умеющие решать даже шаблонные задачи, уровень М - ученики, достигшие минимального уровня.

Задачи минимального уровня.

  1. В арифметической прогрессии (аn): а1 = -3,4, d = 3. Найти а5.
  2. Встретится ли среди членов арифметической прогрессии 14, 17, 20… данное число и, если да, то на каком месте число будет записано: а) 50 b) 78.
  3. Чему равен первый положительный член арифметической прогрессии -22, -20, -18..?
  4. Найти сумму девятнадцати первых членов, если а) b1 = 6, b19 = 17  b) b1 = 4,8, d = -1,2

Решения:

  1. a5 = a1 + 4d
    a5 = -3,4 + 12 = 8,6
  2. d = 17 – 14 = 3
    а) 50 = 14 + 3(n - 1)
    50 = 14 + 3n – 3
    3n = 39
    n = 13
    Да, n = 13
    b) 78 = 14 + 3(n - 1)
    78 = 14 + 3n – 3
    3n = 67
    n = 67/3 – не принадлежит множеству натуральных чисел
    Нет.
  3. an = a1 + d(n - 1)
    d = - 20 – (-22)
    -22 + 2(n - 1) > 0
    2n > 24
    n > 12
    так как n принадлежит множеству натуральных чисел, то n = 13
    a13 = - 22 + 2(13 - 1)
    a13 = - 22 + 24 = 2
    Ответ: a13 = 2 – первый положительный член арифметической прогрессии.
  4. а) S19 = ((b1 + b19)*19)/2
    S19 = ((6 + 17)*19)/2 = 218,5
    b) S19 = ((2b1 + d(n - 1))*19)/2
    S19 = ((9,6 – 1,2*18)*19/2 = -114

Задачи общего уровня.

  1. В арифметической прогрессии (сn) известны с7 = - 6, с11 = - 12. Найти с1 и d.
  2. Между числами 2 и 37 вставьте 4 числа, которые вместе с данными составляют арифметическую прогрессию.
  3. В арифметической прогрессии (an) a7/a2 = 5, S8 = 120. Найти a1 и d.
  4. В арифметической прогрессии (an) S4 = 42, S8 = 132. Найти a1 и d.

Решения.

  1. c11 = c7 + 4d
    4d = c11 – c7
    4d = - 12 + 6
    4d = - 6
    d = - 1,5
    c7 = c1 + 6d
    c1 = c7 – 6d
    c1 = - 6 + 6*1,5 = 3
    Ответ: c1 = 3, d = - 1,5
  2. a1 = 2, a6 = 37
    a6 = a1 + 5d
    37 = 2 + 5d
    5d = 35
    d=7
    an = 2 + 7(n - 1) a2 = 9, a3 = 16, a4 = 23, a5 = 30
    Ответ: 9, 19, 23, 30.
  3. a7 = 5a2
    a1 + 6d = 5(a1 + d)
    a1 + 6d = 5a1 +5d
    d = 4a1
    Sn = (2a1 + d(n - 1))*n/2
    120 = (2a1 + 4a1 (8 - 1))*8/2
    30a1 = 30
    a1 = 1
    d = 4
    Ответ: 1, 4.

I группа

  1. Выведем формулу для вычисления суммы n натуральных чисел.
    a1 = 1  a2 = 2   d = 1
    an = 1+ (n - 1) = n
    Sn = ((1 + n)*n)/2

(Слайд 1)

С этой формулой связана одна из страниц биографии К. Ф. Гаусса. Однажды на уроке в третьем классе, где учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа от 1 до 100. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100 = 101, 2+99 = 101 и т. д. (в нашей формуле написано n+1), сообразил он и то, что таких пар будет 100/2 = 50 (в формуле написано n/2). Осталось умножить 101 на 50, что мальчик сделал в уме. Короче говоря, он закончил вычисления, едва только учитель продиктовал задание. В этом проявились не только находчивость и сообразительность будущего гения. Для математика, для ученого вообще важно, получив задачу, подумать – а нет ли иного метода решения, стоит ли идти проторенным путем, не поискать ли свой, новый, лучший, оригинальный?

  1. Выведем формулу для вычисления суммы n последовательных нечетных чисел.
    a1 = 1  a2 = 3
    an = 1+2(n - 1) = 2n – 1
    Sn = ((1+(2n - 1))*n)/2 = n2

(Слайд 2)

Заметьте, что вторая формула имеет изящный геометрический смысл. На рисунке единицей обозначен первый квадрат. Его как бы охватывают три таких же квадрата, образуя вместе с первым новый квадрат, состоящий из четырех квадратов. Его, в свою очередь, как бы буквой Г охватывает ровно 5 – следующее нечетное число – квадратов, получается новый квадрат, состоящий уже из 9 квадратов. И т.д.

  1. Бегун за 1 минуту пробежал 400 метров, а в каждую минуту последующую пробегал на 5 метров меньше, чем в предыдущую. Какой путь он пробежал за один час?

Решение

За 1 минуту бегун пробежал 400 м, за 2 – 395 м, за 3 – 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390 образуют арифметическую прогрессию, у которой a1 = 400, d = - 5. Путь за 1 час, т. е. за 60 мин, равен сумме первых 60 членов прогрессии.

S60 = (2a1 + 59d)*60/2 = 15150 м. Таким образом, за один час бегун пробежит 15 км 150 м.

Самостоятельная работа общего уровня. (Слайд 3)

  1. Найти разность арифметической прогрессии (an), если a1 = 4,39  5a3 – 7a2 + 4a7 = 5
  2. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (an) a1 = 25,5 a9 = - 5,5?
  3. Дана последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 7. Найти сумму членов последовательности.

Решение. (слайд 4)

  1. a1 = 4,39
    5(a1 + 2d) – 7(a1 + d) + 4(a1 + 6d) = 5
    5a1 + 10d – 7a1 – 7d + 4a1 + 24d = 5
    2a1 + 27d = 5
    27d = - 3,78
    d = - 0,14
    Ответ: - 0,14
  2. an = a1 + d(n - 1)
    a9 = a1 + 8d
    8d = 5,5 – 25,5
    8d = - 20
    d = - 2,5
    54,5 = 25,5 – 2,5(n - 1)
    54,5 = 25,5 – 2,5n + 2,5
    2,5n = -26,5
    n = - 10,6
    Так как число – 10,6 не принадлежит множеству натуральных чисел, число 54,5 не является членом арифметической прогрессии.
    Ответ: нет, не является.
  3. a1 = 14
    an = 7n + 7
    7n + 7 < 100
    n < 93/7
    т.к. n принадлежит множеству натуральных чисел, то n = 13
    a13 = 7*13+7 = 98
    S13 = (14 + 98)*13/2 = 728
    Ответ: 728.

Срез минимального уровня. (По карточкам).

  1. Составьте формулу n – ого члена арифметической прогрессии (an) и найдите a11, если
    1. a1 = 2,4; d = -0,8
    2. a1 = - 2,4; d = 0,8
  2. Найдите разность арифметической прогрессии (cn), если
    1. с1 = - 1,2; c5 = - 0,4
    2. c1 = 2,7; c4 = 1,8
  3. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии
    1. -3, -1…
    2. 24, 21...

Срез общего уровня. (слайд 5)

I вариант.

  1. (an) – арифметическая прогрессия.
    a2 = 2  a4 = 6
    Найти a6.
  2. Найдите разность арифметической прогрессии, если a8 – a5 = - 21,3
  3. (an) – арифметическая прогрессия
    d = 6   S10 = 340
    Найдите a1 и a10.

II вариант.

  1. a2 = - 3      a4 = 1
    Найти d.
  2. Найдите разность арифметической прогрессии, если a10 – a3 = - 78,4
  3. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 10; S14 = 1050 Найти a14 и d.

Домашнее задание. (слайд 6)

Минимальный уровень.

  1. Найдите разность арифметической прогрессии, если a10 – a3 = - 78,4
  2. an – арифметическая прогрессия. a1 = 10, S14 = 1050. Найдите a14 и d.
  3. an – арифметическая прогрессия. a3 = - 1, a5 = 3. Найдите S10.

Общий уровень

  1. an – арифметическая прогрессия. a4 + a6 = 14. Найдите S9.
  2. an – убывающая арифметическая прогрессия. a1a3 = -5. S3 = 6. Найдите S7.
  3. an – арифметическая прогрессия. a1 + a3 + a5 = - 12, a1a3a5 = 80. Найдите a1.

Приложение

Литература.

  1. Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова «Алгебра. 9 класс», М: Просвещение, 2006 г.
  2. Б. Г. Зив, В. А. Гольдич «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса», СПб, 2006 г.
  3. Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры», М: Просвещение, 2007 г.
  4. В. В. Гузеев «Интегральная технология обучения», М: НИИ школьных технологий, 2006 г.

30.05.2009