Некоторые математические модели экономики

Разделы: Экономика


Рассмотрим те понятия, которые требуются для отражения существенных моментов экономического развития. Фундаментальной единицей экономической системы назовем сектор, в котором производится только один вид продукции и который взаимодействует с другими секторами в форме рыночного обмена продукцией и услугами. Сектор не обязательно является физическим или юридическим лицом.

Считаем, что объемы производства в текущем цикле определяют объемы производства в следующем, т.е. объемы производства носят характер состояния системы. На самом деле объем производства некоторого продукта в каждом цикле зависит, прежде всего, от наличия в этом цикле ресурсов для его производства, а также зависит от решений субъекта деятельности, который присутствует в любой экономической системе. В связи с этим описание закона функционирования любой производственной системы должно содержать не только переменные, соответствующие объемам производства, но и переменные, отражающие динамику ресурсов производства.

Рассмотрим некоторые простейшие математические модели экономики.

1°. Модель В.В. Леонтьева.

Пусть в экономической системе в течение цикла, равного одному году, производится п видов продукции. Для производства продукции каждого вида достаточно тех видов продукции, которые производятся в системе. Такую систему называют самодостаточной.

Производимая в течение цикла продукция используется для производства продукции в этом же цикле, и каждый сектор производит лишь один вид продукции. Известна матрица А прямых затрат. Требуется описать ограничения, которые связывают объемы производства в каждом секторе.

Расход i-го вида продукции, когда в системе производится продукция j-го вида в количестве wj, j = удовлетворяется конечный спрос si , равен . Так как в системе производится продукция i-го вида wi., то выполняется неравенство   wi или в матричной форме Аw + s w. В случае, когда остаток от производства w - Aw, называемый чистым выпуском, потребляется полностью, т.е. s = w - Aw, то вместо полученного выше неравенства имеем

w – Aw= s. (1)

Уравнение (1) называют моделью Леонтьева.

Если учесть расходы продукции на создание новых производственных мощностей, т.е. основных фондов в объеме y, то уравнение (1) заменится соотношением w—Aw—By=s (В – некоторая матрица).

Модель Леонтьева можно использовать для решения следующей задачи: какие должны быть объемы производства, чтобы удовлетворить величину s0 конечного спроса. Решение этой задачи, как легко видеть, сводится к нахождению неотрицательного вектора w , удовлетворяющего системе линейных алгебраических уравнений (E-A) w = s0 .

Отметим, что модель Леонтьева получена в предположениях, которые не всегда выполняются в реальной экономике, что снижает ее практическую значимость.

2°. Задача управления запасами.

Для нормальной работы предприятия необходимо иметь как некоторый запас определенного ресурса, так и некоторый запас собственной продукции. Продукция, полученная в результате некоторого производственного процесса, может идти как на продажу, так и служить ресурсом для других процессов на данном предприятии.

Объемы запасов ресурса и продукции рассматриваются во времени, т.е. представляют собой некоторые динамические процессы. Возникает задача управления этими процессами, чтобы в каждый момент времени запасов было достаточно для удовлетворения спроса, но и не было бы излишков, так как на хранение требуются расходы, а также в запасах и непроданной продукции замораживается капитал, который не приносит прибыль. Значит, запасы также должны быть ограничены разумными пределами.

Дадим математическую модель этой задачи. Процессы будем рассматривать в дискретном времени k. Введем обозначения: х1(k) - запас ресурса на начало k-го периода; х2(k) - запас продукции на начало k –го периода; и - известные начальные запасы ресурса и продукции;

а12 - количество продукции, получаемой из единицы ресурса; а22 - количество продукции, идущее на производство единицы продукции на этом же предприятии; v(k) - количество ресурса, изымаемое со склада k-ом периоде для использования в производстве; u(k) - поставки ресурса в k-ом периоде для использования в (k+1)-ом цикле; s(k) - изымаемое со склада количество продукции в k-ом периоде для удовлетворения спроса потребителей; c1 (x1) - издержки за хранение продукции в количестве x1 в течение одного периода, c2 (x2) - то же самое для ресурса, c3 (v) - издержки, связанные с изъятием со склада сырья в количестве v(k).

Так как из количества v(k) производится а12v(k) и на производство последней идет а22(а12v(k)) продукции этого же предприятия, то размеры запасов ресурса и продукции по периодам описываются системой уравнений:

х1 (k + l)= х1 (k)+u(k)-v(k), (2)

х2 (k + l)= х2 (k)+ а12v(k)- а22а12v(k)-s(k), (3)

х1 (0)= , х2 (0)= .

Пусть Image7662.gif (886 bytes) = (l - а22 12 . Тогда (3) запишется так:

х2 (k + l)= х2 (k)+ Image7662.gif (886 bytes) v(k)-s(k). (4)

Величины х1(k), х2(k), v(k), u(k), s(k) при всех k неотрицательны и при этом должно выполняться неравенство

v(k) х1 (k). (5)

Так как спрос s(k) удовлетворяется из объема запасов продукции х2(k) в k-ом цикле, то этих запасов должно быть достаточно, т.е.

s(k)< х2 (k). (6)

Зафиксируем число K и поставим задачу нахождения такой последовательности v(0), v(l), ..., v(K-1), v(K), что все условия (2)-(6) будут выполняться и расходы, связанные с соответствующими изменениями уровней запасов, описываемые функционалом

(7)

будут минимальны.

3°. Динамическое планирование производства.

Как и в п. 20 считаем, что время меняется дискретно, по циклам, и циклом в зависимости от масштабов производства выбирается день, неделя, месяц, квартал, год и т.д. Планировать производство предполагается циклически.

Рассмотрим случай, когда выпускается только один вид продукции в количестве w1. Пусть на срок в T циклов известен спрос на нее и1(k).Требуется запланировать такие объемы w1(k) выпуска этой продукции, чтобы спрос был удовлетворен, но не было слишком много нереализованной продукции и не было больших колебаний w1(k)= w1(k+1)- w1(k) выпуска продукции.

Запасы z1(k) продукции подчиняются уравнению z1 (k + 1)= z1 (k)+w1(k)-u1(k). Одной из составляющих целевой функции является a1, где а1 - стоимость хранения единицы продукции. Вторая составляющая зависит от w1(k), которая может быть как положительной, так и отрицательной. Так как любое число представимо в виде разности двух неотрицательных чисел, то введя переменные (k) 0 и (k) 0, можно напиcaть w1 (k + 1)- w1 (k)= (k) - (k).

Если целью является ограничение резких наращиваний производства, то следует минимизировать функцию

f(z1, )= (8)

где z1 (k) и у (k) удовлетворяют системе уравнений

z1 (k + 1)= z1 (k)+w1(k)-u1(k).

w1 (k + 1)=w1 (k)+ (k)- (k). (9)

Если же цель - устранить резкие колебания производства, то задача сводится к минимизации функции

f(z1, , ) =

Эта задача относится к классу задач параметрического программирования.

40. Параметрическое программирование.

Рассмотрим задачу (8)-(9). Полагая , где измеряет отношение стоимости увеличения выпуска продукции на единицу к стоимости хранения единицы продукции, рассматриваемая задача сводится к задаче

(8/)

при условиях (9).

Задачей менеджера предприятия является выяснить, какие планы производства отвечают различным . Эта задача относится к классу так называемых задач параметрического программирования. Общая постановка задачи параметрического программирования следующая:

(11)

Ax=b, (12)

x0, (13)

0 < min max , (14)

где d' =col(;;……), i = ; A - матрица размера mn, b = col(b1 ;…..;bm).

Считаем, что при всех допустимых решение задачи линейного программирования (11)-(13) существует. Ясно, что в силу того, что множество допустимых решений является выпуклым многогранником, интервал значений разбивается на семейство интервалов, причем для всех в каждом из них оптимальное решение одно и то же. Найдем множество тех , для которых х0 (min) является оптимальным решением. Для этого рассмотрим симплекс-таблицу задачи (11)-(13), соответствующую х0 (min). При изменении в этой таблице будут изменяться только 1 = c1 - z1,….., n = cn - zn , а именно

,

где

В силу оптимальности х0 (min) выполняется j=. Поэтому система неравенств

, j=

совместна. Максимальное , удовлетворяющее (15), определяется как

При этом min < 1. Если j для всех j=, то 1=+.

Если 1 Image7661.gif (861 bytes) max, то решение задачи закончено. Пусть < max и x0(1 + ) -оптимальное решение для очень малого > 0. Аналогично, как и выше, подсчитаем соответствующие ему и рассмотрим систему неравенств

, j= ,

которая является совместной. Если для всех j, j= , имеем 1 0 , то для всех , 1 max, решением является х0(1).

Если выполняется , то х0(1) также является решением. Если 2 < max, то процесс продолжаем до тех пор, когда при всех , min max , будет определено решение.

Конечность этого процесса следует из конечности числа граней области допустимых решений. Числа 1, 2, ... называются критическими значениями параметра , а x0(1), x0(2)), ... называют критическими решениями.

Задания для самостоятельной работы

1. В модели Леонтьева найти все возможные объемы производства w, чтобы удовлетворить величину s0 конечного спроса:

1) 2) .

2. Записать задачу (9)-(8') в виде задачи параметрического программирования (11)-(14).

3. Решить задачу параметрического программирования с помощью алгоритма, изложенного в п. 4:

min[-2x1+x2+ (-2 x1-4 x2)]

при ограничениях

x1+ x3=4000,

x2+ x4=6000,

x1+ x2+ x5=6000,

x1, x2, x3, x4, x5 0,

1 2.

20.06.2009