Урок алгебры по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с использованием исторического материала

Разделы: Математика


Цель: обобщить информацию по прогрессиям; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов данных прогрессий с помощью формул; решение задач, в которых используются обе последовательности; развивать познавательный интерес учащихся; учить их видеть связь между математикой и окружающим миром.

Ход урока

1. Устная работа.

а) Сформулируйте определение арифметической и геометрической прогрессий.

Сообщив подряд определения можно обратить внимание на то, что они похожи: надо лишь сложение заменить умножением.

б) Назовите формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.

Если в формуле n-го члена арифметической прогрессии сложение заменить умножением, а умножение возведением в степень, то получим формулу n-го члена геометрической прогрессии.

в) В чем заключается характеристическое свойство прогрессий?

«Родство» прогрессий становится еще более заметным, если посмотреть на данное свойство.

г) Назовите формулы суммы n первых членов данных прогрессий.

2. Историческая справка.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1

2

4

8

16

В верхней строке расположена арифметическая прогрессия с разностью 1, а в нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт. А теперь, представьте, что мы не умеем умножать и делить, но нам нужно ·16. В таблице над  написано -1, а над 16 → 4, сложим -1+4=3. Под 3 написано 8. Это и есть ответ.

Другой пример, 16:2. 16 → 4, 2 → 1, 4-1=3, 3 → 8. Ответ: 8.

Если вспомнить: а·а, а, то нижнюю строчку таблицы можно переписать 2 2 2

Имеем 2·2=2=8 (-1+4=3); 2:2=2=2=8 (4-1=3).

Можно сказать, что если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию.

3. Решение тренировочных задач.

№ 1 (историческая).

С формулой  связан один из эпизодов биографии К.Ф.Гаусса: однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь что это займёт у них много времени. Но маленький Гаусс сделал это в уме, едва учитель закончил чтение условия. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. Как он это сделал?

Решение:

1+100=101;

1+99=101

… и т.д.

101*50=5050

или =

В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «Царем математики».

№ 2.

Один купец на базаре заключил с мужиком договор. Мужик предложил ему каждый день приносить по 100000 руб., а купец при этом в первый день даст ему 1 копейку, во второй день – 2 копейки, в третий – 4 копейки и т.д.. Образованный купец пришел домой и рассказал все жене, Жена сожалела о том, что договор был заключен только на месяц, Кто выиграл в этом договоре купец или мужик?

Решение:

Мужик отдал: 100000*30=3000000 руб.

Купец отдал: S=

2=1073741824

И в настоящее время при решении некоторых задач не обойтись без прогрессий.

№ 3.

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Решение:

а, а, d=10. п - ?.

а, 105=15+(п-1)*10, п=10.

№ 4. (Используются арифметическая и геометрическая прогрессии).

Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три члена, образующие арифметическую прогрессию. Найдите четвертый член геометрической прогрессии и первый член арифметической прогрессии.

Решение:

в,

;

;

S

a=48,

в.

4. Самостоятельная работа (тест).

Вариант 1

  1. В первой коробке 6 карандашей, во второй коробке 8 карандашей, в третьей – 10 карандашей. Сколько карандашей будет в 13 коробке?
    а) 144;
    б) 26;
    в) 30;
    г) 32.
  2. Дана геометрическая прогрессия, где в =7, q=2. Найдите первые пять членов.
    а) 14; 28; 56; 112; 224;
    б) 7; 3,5; 1,75; 0,825; 0,4525;
    в) 2; 14; 98; 776; 4982;
    г) 7; 14; 28; 56; 112.
  3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии q, где с с
    а) q=3;
    б) q= -3;
    в)q=3 илиq= -3;
    г)q= 9.

Вариант 2

  1. В январе мастерская изготовила 6 гарнитуров, каждый следующий месяц изготавливала на 3 больше. Сколько гарнитуров мастерская изготовила в августе?
    а) 37;
    б) 21;
    в) 211;
    г) 34.
  2. Дана геометрическая прогрессия, где в =6, q=7. Найдите первые пять членов.
    а) 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375;
    б) 12; 24; 48; 96; 196;
    в) 6; 12; 24; 48; 96;
    г) 2; 12; 72; 432; 864.
  3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии q, где с с
    а) q=2;
    б) q= -2;
    в)q=2 илиq= -2;
    г)q= 4.

10.05.2009