Программа и методические рекомендации элективного курса "Удивительное равенство в теореме Пифагора" для 9-х классов

Профильное обучение – это одно из средств дифференциации и индивидуализации обучения. Предпрофильное обучение не является самостоятельной системой. Его можно считать подсистемой профильного образования, которое выполняет подготовительную функцию. Здесь возможно: более полно учитывать интересы, склонности, способности учащихся; создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами, с их намерениями в отношении продолжения образования.
Профильное и предпрофильное обучение может быть осуществимо за счёт изменения в структуре, содержании, организации учебного процесса. Частично, это прослеживается на рисунке, где выделены типы учебных предметов в учреждениях с профильным обучением.

СХЕМА

Если общеобразовательное учреждение не ориентировано на конкретные профили, то у школьников всё же есть возможность выполнить свои индивидуальные образовательные программы за счёт значительного увеличения числа предложенных им элективных курсов.
В этой статье мы предлагаем для девятиклассников элективный курс «Удивительное равенство в теореме Пифагора». Из материалов, имеющихся в печати, нами выделены основные структурные элементы программы курсов по выбору.

Дальнейшее изложение содержания курса «Удивительное равенство в теореме Пифагора» им будет соответствовать.

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «УДИВИТЕЛЬНОЕ РАВЕНСТВО В ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА»

Пояснительная записка

Курс разработан для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов. Он расширяет математическое образование школьников и позволяет им определить свои профессиональные пристрастия.

Математическое образование важно с различных точек зрения: философской, исторической, логической, познавательной и прикладной. Предложенный элективный курс будет на это нацелен.

Тему «Удивительное равенство в теореме Пифагора» в первую очередь будем рассматривать под историческим углом зрения. На примерах из истории математики формируется понимание того, что математика является мощным средством решения прикладных задач, универсальным языком, а также прослеживается развитие не только её самой как науки, но и человеческой культуры в целом.

Элективный курс предполагает:

1) развитие содержания базового курса геометрии;
2) демонстрацию возможностей предмета;
3) развитие интереса к математике;
4) подготовку учащихся к осознанному выбору будущей профессии (учителя математики или др.).

Цели и задачи курса:

• развитие интереса школьников к математике;рассмотрение роли математики как части человеческой культуры;
• расширение знаний по истории теоремы Пифагора;
• знакомство с доказательствами теоремы Пифагора из древних трактатов;
• формирование у учащихся представлений о различных доказательствах теоремы Пифагора в школьном курсе геометрии;
• совершенствование умений и навыков в решении задач с применением теоремы Пифагора;
• развитие самостоятельности в приобретении новых знаний;
• формирование практических умений оформлять результаты исследовательской работы;
• осуществление подготовки учащихся к экзамену по математике.

Ожидаемые результаты. В результате изучения данного курса учащиеся должны:

• знать историю возникновения теоремы Пифагора;
• ознакомиться с различными методами и подходами к доказательству теоремы Пифагора в школьном курсе геометрии;
• иметь представление о доказательствах теоремы Пифагора, не имеющихся в школьных учебниках;
• уметь доказывать теорему Пифагора по различным рисункам, на основе подобия треугольников, с использованием свойства площадей, с использованием соотношений в треугольнике, с использованием косинуса угла и среднего пропорционального;
• применять теорему Пифагора в задачах с использованием трапеции, окружности, комбинации геометрических фигур;
• осуществлять выбор метода решения задачи и его обосновывать.

Содержательная часть

I. Из истории теоремы Пифагора и её доказательство в геометрии средней школы (2 часа). Работа с историческими сведениями о знании соотношения между гипотенузой и катетами начиная от вавилонян (за 1200 лет до Пифагора) и заканчивая настоящим временем.

II. Теорема Пифагора в задачах (школьного курса геометрии) (6 часов). Применение теоремы Пифагора в задачах на соотношения в треугольнике, трапеции, окружности и так далее.

III. Различные доказательства теоремы Пифагора (6 часов). О геометрическом доказательстве теоремы Пифагора, её доказательство по предложенным рисункам. Доказательство теоремы Пифагора из трактата Бхаскары (XII в). Теорема Пифагора в «Трактате об измерительном шесте» (Древний Китай IIв. до н. э.) и вариант реконструкции этого доказательства, предложенный Ван-дер-Варденом (1903–1996).Доказательство теоремы Пифагора на основе подобия треугольников, либо с использованием свойства площадей, либо с использованием понятия косинуса угла.Среднее пропорциональное в доказательстве теоремы Пифагора.

IV. Значение теоремы Пифагора для геометрии и математики в целом (1 час). Связь между теоремой Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат и расстоянием между точками А и В в декартовых координатах.Основное тригонометрическое тождество cos2? + sin2? = 1 и теорема Пифагора. Обобщение теоремы Пифагора на пространственные фигуры.

Тематическое планирование

Таблица 1

Условные обозначения в таблице 1: ЛПЗ – лекционно-практическое занятие; СПЗ – семинарско-практическое занятие; СЗ – семинарское занятие; ПЗ – практическое занятие; СР – самостоятельная работа; КР – контрольная работа.

Методическая часть

I. После вступительного слова учителя о рассматриваемых вопросах выбранного курса учащимся предлагается самостоятельная работа по учебнику Л. С. Атанасяна «Геометрия для 7–9 классов» [6]. Цель: повторение ранее изученного ими материала (теорема Пифагора, обратная теорема). Затем проводится анализ исторических сведений, сообщённых в указанных учителем параграфах, составление по ним рассказа. Введён учителем персонаж – «египетский треугольник», на вопросы которого необходимо дать ответы и прорешать задачи (№ 6, № 13) из «Математики в девяти книгах» (Древний Китай, IIв. до н. э.) [17. С. 31].

II. Для решения различных задач можно рекомендовать учителю сделать их подборку и выдавать блоками. Сначала работать только с треугольником, затем с трапецией, потом с окружностью. В каждом блоке 10–15 задач. Часть решать в классе, часть – дома, часть – в контрольной (самостоятельной) работе.
На этих занятиях формируются умения и навыки в нахождении конечной цепочки шагов, обоснованных соответствующими знаниями геометрического материала, приводящих к нужному результату. И одним, возможно решающим, шагом будет использование замечательного равенства (квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов). Здесь же тренируем вычислительные навыки, о которых не следует забывать. Наличие вычислительной культуры важно для овладения физикой, химией и т. д.

III. Эпохе развития древнегреческой математики до Евклида (IIIв. до н. э.), завершившейся созданием систематической дедуктивной науки, в которой утверждения выводятся из основных положений-аксиом с помощью дедукции, т. е. логического вывода, предшествовал длительный этап становления математики отдельных теоретических доказательств. По общепринятой версии, теоретическая математика возникла в пифагорейской школе. В этом разделе курса стоит обсудить вопрос о возникновении дедуктивной математики в Древней Греции. И ещё донести до учащихся мысль, что в математике теоретические доказательства важнее вычислительных рецептов, что только они и делают её математикой.
Теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, так как имеется несколько сотен её доказательств. Проводя доказательства различными способами, мы подводим учащихся к пониманию безграничности человеческого разума, его возможностей, формируем математическое мышление. На занятиях также представляются возможности знакомства с различными периодами развития математики.

IV. Значение теоремы Пифагора для геометрии и математики в целом. Математика – это часть общечеловеческой культуры. На последнем заключительном занятии предлагаемого элективного курса необходимо сделать акцент на то, что каждый культурный человек должен иметь более широкое представление об изучаемом материале в геометрии, а не как о наборе конкретных формул и теорем.В частности, где мы можем увидеть, применить теорему Пифагора?

Воспользуемся энциклопедией для детей [17. С. 289]. Из неё выделим материал в пункты 1–3. В них указаны страницы учебника геометрии, чтобы была понятна связь с тем, что учащиеся изучали на уроках.

1. По теореме Пифагора находим длину отрезка (гипотенузы), не проводя измерений, то она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и далее в многомерные пространства.

2. Расстояние между точками А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂) в декартовых координатах [6. С. 238]:

а). Это теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат. Их длины: |х₂ – х₁| и |у₂ – у₁| [6. С. 192].

б). Если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, то из этой формулы (она определяет расстояния) выводимы понятия, определяемые через расстояния: равенство и подобие фигур.

Окружность – множество пар чисел (х; у), для которых

и (х₀; у₀) – заданная точка, центр окружности. [6. С.242].

в). Если добавить еще одну координату z и слагаемое (z₂ – z₁)² в формулу расстояния, то мы уже в трехмерном пространстве:

.

И так далее.

3. В тригонометрии основное тригонометрическое тождество cos² + sin² = 1 – это теорема Пифагора, записанная в другом виде [6. С.253].

4. Существуют и обобщения теоремы Пифагора на пространственные фигуры. Одно из них было установлено впервые в XVIII столетии и часто встречается в прикладной математике. Оно звучит так: «Сумма квадратов площадей трех прямоугольных треугольников, являющихся боковыми гранями тетраэдра и имеющих общую вершину при прямых углах, равна квадрату площади основания тетраэдра» [2. С.29].

Приложение