Тема урока: "Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений и Смоленская крепостная стена"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • формирование навыков применения формулы сокращенного умножения – квадрата суммы и квадрата разности двух выражений при выполнении упражнений и решении уравнений;

  • развитие логического мышления, умения работать самостоятельно, математически грамотной речи, сознательного восприятия учебного материала;

  • воспитание познавательного интереса учащихся к учебным дисциплинам, трудолюбия, аккуратности, навыков самоконтроля, расширение знаний об историческом прошлом своей малой Родины.

Оборудование:

  • Выставка “Ожерелье всея Руси” (книги о Смоленске, крепостной стене, рисунки).
  • Раздаточный материал.
  • Кроссворд.
  • Таблица ответов.

Форма проведения урока: путешествие по Смоленской крепостной стене.

Ход урока

В каждом городе есть место, где душа его раскрывается с наибольшей полнотой. Для смолян таким священным местом является знаменитая крепостная стена, “Ожерелье всея Руси”, “Красота неизглаголенная”, по словам Бориса Годунова.

Сегодня у нас необычный урок – урок путешествие по Смоленской крепостной стене. Ваша задача – научиться применять формулы сокращенного умножения при решении уравнений и задач и выяснить зачем, когда и кем была построена Смоленская крепостная стена.

Смоленск был главной крепостью на пути к столице России.

“…Не раз и не два заслонял он
Просторы великой страны.
И прежде, чем быть Бородинскому бою
Был бой у Смоленской стены”.

Придавая исключительное значение Смоленску как важнейшему стратегическому центру в обороне русского государства от Литвы и Польши, царь Федор решил построить в Смоленске крепостную стену. И в 1595 году по царскому указу в Смоленск для постройки каменного града выехала группа именитых людей. Огромная работа началась.

Возводить это грандиозное сооружение, было поручено прославившему себя к тому времени зодчему и градостроителю, происходившему из дорогобужских крестьян, имя которого мы узнаем, проведя устную математическую разминку.

Задание 1. Представьте в виде многочлена (правильному ответу соответствует буква).

1. (в + 3у)2 = в2 + 6ву + 9у2 Ф
2. (-х + 5)2 = х2 – 10х + 25 Ё
3. (х2 – 5)2 = х4 – 10х2 +25 Д
4. (m2 – n3) = m4 – 2m2n3 + n6 О
5. (-p – 2)2 = p2 + 4p + 4 Р

Задание 2. Представить трехчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена.

1. а2 + 10а + 25 = (а + 5)2 К
2. 1 – 4х + 4х2 = (1 – 2х)2 О
3. 0,49х2 + 1,4ху + у2 = (0,7х + у)2 Н
4. -4х2 – 12ху – 9у2 = -(2х + 3у)2 Ь
Мало известно об этом недюжинном человеке, Дмитрий Кедрин в своей поэме “Конь” писал:

“Он был конем за силу прозван:
Мощь битюга играла в нем!
Сам царь Иван Васильевич Грозный
Детину окрестил Конем.
И впрямь, точно, и нельстива,
К нему та кличка привилась
Его взлохмаченная грива
Точь – в точь как у коня вилась”.

В каком году закончилось строительство крепости? Узнаем, выполнив следующие задания и расположив ответы по порядку.

Задание 3. Найти значение выражения:

  1. (х – 10)2 – х(х + 80), при х = 0,99.

    2. х2 – 20х + 100 – х2 – 80х = -100х + 100.

    Если х = 0,99, то -100•0,99 + 100 = 1.

  2. (а – 8)2 - а(а – 6), при а = 5,8.

    3. а2 – 16а + 64 –а2 + 6а = -10а + 64.

    Если а = 5,8, то -10•5,8 + 64 = 6.

  3. (2х + 0,5)2 – (2х - 0,5)2, при х = 0.

    4. 4х2 +2х + 0,25 – (4х2 – 2х + 0,25) = 4х2 + 2х + 0,25 – 4х2 +2х – 0,25 = 4х.

    Если х = 0, то 4•0 = 0.

  4. Доказать, что значение дроби не зависит от значения переменной:

Ответ: 1602 год.

Итак, в 1602 году возведение крепости было закончено. Крепость не только защищала, но и украшала город. Сейчас мы узнаем, какова длина крепости, ширина и высота, выполнив задания на карточках. (Карточки раздаются по вариантам сложности).

Задание 4.

Ширина крепости

Упростить выражение и найти его значение:

а) х2 + 10х + 25 при х = -3.
в) 4у2 -12у +9 при у = 0.
х2 + 10х + 25 = (х + 5)2 = (-3 + 5)2 = 4.
4у2 -12у + 9 = (2у + 3)2 = 32 = 9.

Ответ: 4,9 м

Длина крепости

Упростить выражение и найти его значение:

при а = -36, в = 15.

а/4 +ав + в2 – 2,5 = (а/2 + в)2 – 2,5 = (-18 + 15)2 – 2,5 = 6,5.

Ответ: 6,5 км.

Высота крепости:

Упростить выражение и найти его значение:

х2у2 - 4ху + 4 + 0,6 при х = -7/9, у = 9/7
х2у2 – 4ху + 4 + 0,6 = (ху -2)2 + 0,6 = (-7/9 · 9/7 – 2)2 + 0,6 = 9,6.

Ответ: 9,6 м.

Крепостная стена была разбита на 36 участков, между которыми стояли трехярусные башни, высотой 15-18 м. Сколько же их было? Выполним следующее задание.

Задание5.

Известно, что при некоторых значениях а и в значение выражения а - в = 5. Чему равно при тех же а и в значение выражения: 13 + а2 – 2ав + в2?

13 + (а – в)2 = 13 + 52 = 38.

Ответ: 38 башен

Борис Годунов писал царю из Смоленска:

“Построим мы такую красоту неизглаголенную, что подобно ей не будет во всей поднебесной: одних башен 38 и по верху ее свободно поезжай на тройке. Как на важной боярыне красиво то лежит многоценное ожерелье, прибавляя ей красоты и горделивости, так Смоленская стена станет теперь ожерельем всей Руси православной на зависть врагам и на гордость Московского государства”.

И была самая любимая башня, из всех построенных, у Федора Коня. Называлась она и Городецкая и Орел, но из глубины веков время донесло ее название.

И мы узнаем его, разгадав кроссворд.

  1. Равенство, содержащее переменную.
  2. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
  3. Равенство, верное при любых значениях переменных.
  4. Уравнение вида: ах = в, где х-переменная, а и в – некоторые числа.
  5. Сумма одночленов.
  6. Зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
  7. Независимая переменная.
  8. График линейной функции.

Ответы: 1. Уравнение. 2. Корень. 3. Тождество. 4. Линейное. 5. Многочлен. 6. Функция. 7. Х. 8. Прямая.

По вертикали в выделенном столбце читаем: ВЕСЕЛУХА

16-гранная Веселуха стояла над излучиной Днепра, с нее открывался веселый вид на Днепр и поля.

И еще одна достопримечательность украшала крепостную стену, она считалась жемчужиной “Ожерелья всея Руси”.

Вашему вниманию предлагаю игру “Реши уравнение”.

Решив уравнение, находим букву, соответствующую ответу, получаем название.

Д

О

Н

Е

П

С

-0,1

3

1/2

2

-5

-0,5

К

В

И

Р

Т

А

1/24

1

1,8

0

11

-6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Д Н Е П Р О В С К И Е В О Р О Т А

Решить уравнения:

1. (2х – 3)2 – 2х(4 + 2х) = 11 (-0,1)
2. (3х – 1)2 –(3х – 2)2 =0 (1/2)
3. (5 – х)2 – х(2,5 + х) =0 ( 2)
4. -5х(х – 3) + 5(х – 1)2 = -20 (-5)
5. (2 – х)2 – х(х +1,5) = 4 (0)
6. х(х – 1) – (х – 5)2 =2 (3)
7. 11 – (4 –х)2 = х(3 – х) (1)
8. (2х – 3)2 – (2х + 3)2 = 12 (-0,5)
9. 9х(х +6) – (3х + 1)2 =1 (1/24)
10. (х -6)2 – х(х +8) = 0 (1,8)
11. 64х2 – (3 – 8х)2 = 87 (2)
12. 16х2 – (4х -5)2 =15 (1)
13. 16х(2х –х) + (4х – 5)2 = 1 (3)
14. 36-(6-х)2 = х(2 –х) (0)
15. (у-2)(у+3) – (у –2)2 =5 (3)
16. (2х +3)(х +7) -2(х + 4)2 = 0 (11)
17. (у +1)2 – (у +4)(у – 5) = 3 (-6)

Дополнительные задания:

Вычислить:

1) 1012 - 2·101·81 + 812 -100 = (101 – 81)2 -100 = 400 -100 = 300
300 тысяч рабочих для постройки крепости.

2) (1012 - 2·101·81 + 812)·8 = 400·8 = 3200
3200 бочек извести для постройки крепости.

Сообщение учащегося.

Башня Днепровских (Фроловских) ворот была особенно красивой. Она стояла на берег перед Большим Днепровским мостом. Проезд закрывался

деревянными брусчатыми воротами и железной решеткой. Башня выделялась из всех остальных своей высотой. Пять ее ярусов поднимались на 30 метров над землей. Наверху была смотровая вышка, и висел колокол. Облик башни дополняли двуглавый орел, венчавший ее, и икона Одигитрии над проездными воротами. Днепровская башня создавалась Федором Конем не только как сооружение, которое по праву считалось жемчужиной “ожерелья всея Руси”. Ворота были и торжественным въездом, открывавшим путь на Москву.

Подведение итогов урока, выставление оценок.

Рефлексия.

  1. Что нового узнали на уроке?
  2. Что понравилось на уроке?
  3. Что не понравилось?
  4. Что необходимо изменить, чтобы было на уроке интересней?