Урок проходит в кабинете математики, оборудованном интерактивной доской в 10-м классе с углубленным изучением математики после завершения изучения темы “Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной”.
Тема урока: Рациональный выбор метода решения задач на определение области значений функции.
Цели:
1 выработать умение учащихся выбирать рациональный метод решения задачи в зависимости от вида конкретной функции;
2) усилить понимание гармоничности сочетания приемов решения задач, полученных при изучении элементарной математики и математического анализа;
3) закрепить теоретические основы при изучении данной темы в ракурсе целостного восприятия различных разделов математики;
4) отработать навыки работы с интерактивной доской;
5) активизировать творческую составляющую деятельности учащихся.
Задачи:
1) анализ возможных подходов при выборе типа решения задачи;
2) оценка трудоемкости различных методов решения;
3) повторение способов исследования функции элементарными методами;
4) умение оценивать достоинства и недостатки исследования функции методами элементарной и высшей математики в каждом конкретном случае;
5) подготовка к сдаче единого государственного экзамена с точки зрения оптимальности использования времени при выполнении задания;
6) развитие умения самостоятельно принимать решение об эффективности применения различных методов.
Схема урока.
I. Повторение пройденного материала и вопросов, подготавливающих к пониманию новых задач.
1) Нахождение области значений квадратичной функции методами элементарной математики.
Задача № 1.
При каких значениях m функция y = 5x2 + mx – 3 имеет минимум в точке х0 = 1,3?
Решение:
Графиком данной функции является парабола ветвями вверх, значит функция имеет минимум в точке х0 = 1,3.
хв = х0 = - х /10 = 1,3;
m = - 13.
2) Область значений тригонометрических функций. Оценка “сверху” и “снизу”.
Задача № 2.
Найти область значений функции у = (sinx – cosx)2 + 0,25.
Решение:
у = (sinx – cosx)2 + 0,25 = sin2x – 2sinxcosx + cos2x + 0,25 = 1,25 – sin2x;
II Задача № 3.
При каком значении m функция
имеет минимум в
точке х0 = 1,3?
Решение:
I способ. Используя результат задачи №1, найдем область значений данного выражения.
Т.к. под знаком радикала стоит функция, имеющая минимум в точке х = 1,3 при m = -13, то и данная функция будет иметь минимум в этой точке.
II способ.
Найдем производную функции:
Найдем критические точки функции 
;
10x + m = 0; По условию задачи х0 = 1,3; 13 +m = 0; m = 13.
Определим знаки производной с обеих сторон от
критической точки, т.к. знаменатель всегда больше
нуля, то знак производной определяется знаком
числителя. При х = 1, 
при х = 2, значит х = 1,3 – точка минимума.
Задача №4.
Найдите наибольшее целое значение функции
I способ.
Воспользуемся результатом решения задачи №2. Область значений функции под знаком корня
Т.к. 
, то 
,
,
.
Наименьшее целое значение функции у = 2.
II способ.
Решим задачу с помощью производной:
;
.
Найдем критические точки: т. к. знаменатель
производной больше нуля, то cos2x = 0, 
,
.
Исследуем функцию на экстремумы. На данном этапе исследование можно прекратить, т. к. очевидно, что дальнейшее исследование становиться очень трудоемким, а как было указано выше нас крайне интересует затрата времени – ведь речь идет об экзамене.
Вывод: приступая к решению задачи особенно важно уметь оценивать трудоемкость метода и находить рациональный путь, избегая в некоторых случаях искушения решить задачу универсальным путем - с помощью производной, тем не менее, понимая, что далеко не все задачи на данную тему можно решить элементарными методами.
Форма проведения урока – сочетание объяснения учителя с фронтальной коллективной работой учащихся.
Интерактивная доска позволяет в необходимый момент высветить на доске первоначальное решение задачи и сравнить трудоемкость решения.
Домашнее задание: №437. Виленкин Н.Я., О.С. Ивашев – Мусатов, С.И. Шварцбуд. “ Алгебра и начала анализа” 10 класс.
Литература:
1.Виленкин Н.Я., О.С. Ивашев – Мусатов, С.И. Шварцбуд. “ Алгебра и начала анализа” 10 класс.
2. Денищева Л.О, Е.М Бойченко, Ю.А Глазков и др.