Цели урока:
- открыть зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами; научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений;
- развитие информационно-аналитических компетенций и умений учебного труда (умение работать в должном темпе);
- воспитание добросовестного отношения к учебному труду.
Материалы и оборудование урока: проектор, слайд-фильм, компьютерный класс с выходом в интернет.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Класс: 8.
Продолжительность: 2 урока.
Урок сопровождается слайд-фильмом (Приложение 1)
Эпиграф к уроку (на доске):
По праву достойна в стихах быть
воспета
О свойствах корней теорема Виета.
ХОД УРОКА
I. Проверка домашнего задания, актуализация и коррекция опорных знаний учащихся (используется метод фронтальной беседы и устный опрос)
Для сильных учащихся предлагается тест в электронном варианте ( Приложение 2) работа на 5 минут, остальные учащиеся работают с учителем.
– На прошлых уроках мы познакомились с новыми
уравнениями. Назовите их и дайте определение.
– В зависимости от наличия коэффициентов, в
квадратном уравнении как оно называется?
– Дайте определение приведенного квадратного
уравнения.
– Также познакомились с формулами корней
квадратного уравнения и дискриминантом.
– Какую связь устанавливают формулы корней
квадратного уравнения?
– Какую зависимость устанавливает значение
дискриминанта?
При ответах учащиеся делают записи на доске.
– А как вы думаете: все ли связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения мы рассмотрели?
II. Сообщение темы, цели и задач урока, мотивация учебной деятельности школьников, постановка проблемы
Слайд №1
Исследование связи между корнямии коэффициентами квадратного уравнения.
– Открыть тетради записать число и тему урока. Обратимся к домашней работе. Дома вы решали 4 уравнения и заполняли таблицу.
Слайд №2.
III. Восприятие и первичное осознание нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения
Применяются следующие методы:
1. Работа с таблицей, самостоятельная работа в
группах с интернетом с целью восприятия нового
материала.
2. Беседа с целью проверки и коррекции первичного
осознания и воспроизведения учащимися знаний.
– Проверьте свою работу по таблице. А теперь посмотрите внимательно, что интересного вы заметили? Обсудите это в парах и попытайтесь сформулировать предположение (выслушиваем предположения). Действительно, вы правы, существует такое утверждение.
Слайд 3.
Утверждение №1:
Пусть х1 и х2 – корни
уравнения х2 + pх + q = 0.
Тогда числа х1, х2 , p, q
связаны равенствами:
х1 + х2= – p, х1х2
= q
Утверждение № 2:
Пусть числа х1, х2, p,
q связаны равенствами х1 + х2
= – p, х1х2 = q.
Тогда х1 и х2 – корни
уравнения х2 + pх + q = 0
– Записываем в тетрадях утверждение №1.
Знакомство с доказательство утверждения происходит на сайте по адресу: http://www.postupi.ru/ucheb/math/math_alg_uravn01.html. В процессе доказательства обратного утверждения получается равенство: х2 + рх + q = (х – х1)(х – х2).
– Итак, мы познакомились с доказательством теоремы Виета. Запишите ее в тетрадях.
Слайд №4
Теорема Виета:
Числа х1 и х2 являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 + pх + q = 0 тогда и только тогда, когда х1 + х2= – p, х1х2 = q.
Следствие: х2 + pх + q = (х – х1)(х – х2).
Как вы догадались, данная теорема носит имя автора. Кем же был Франсуа Виет, и когда была доказана эта теорема?
Слайд №5
Франсуа Виет |
Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец
Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и
стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563
году он оставляет юриспруденцию и становится
учителем в знатной семье. Именно преподавание
побудило в молодом юристе интерес к математике.
Виет переезжает в Париж, где легче узнать о
достижениях ведущих математиков Европы. С 1571
года Виет занимает важные государственные посты,
но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа.
Теперь он имел возможность всерьез заняться
математикой.
В 1591 году он издает трактат «Введение в
аналитическое искусство», где показал, что,
оперируя с символами, можно получить результат,
применимый к любым соответствующим величинам.
Знаменитая теорема была обнародована в том же
году.
Громкую славу получил при Генрихе III во время
Франко-Испанской войны. В течение двух недель,
просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к
Испанскому шифру.
Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он
был убит.
– Итак, какие связи между коэффициентами и
корнями приведенного квадратного уравнения мы
обнаружили? Чем интересно полученное следствие?
Где это можно использовать?
Подумайте и ответьте: где, в каких ситуациях
можно воспользоваться теоремой и следствием?
Свои предположения обсудите в парах, и
полученные ситуации запишите в тетрадь.
Выслушиваем то, что получилось, обсуждаем.
– Давайте, сравним ваши предположения с предлагаемыми ситуациями.
Слайд №6
Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета:
- Проверка правильности найденных корней.
- Определение знаков корней квадратного уравнения.
- Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения.
- Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
- Разложение квадратного трехчлена на множители.
IV. Самостоятельная работа учащихся
– Выполним задания.
Слайд №7
– Решите следующие задания:
- Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения х2 – 22х + 105 = 0?
- Определите знаки корней уравнения х2 + 5х – 36 = 0.
- Найдите устно корни уравнения х2 – 9х + 20 = 0.
- Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3.
- Разложите квадратный трехчлен на множители х2 + 2х – 48.
Учащиеся решают в группах, полученные решения представители от групп объясняют у доски.
V. Постановка новой проблемы
Используя ответ задания №4, сначала переходим к
квадратному уравнению с целыми коэффициентами, а
затем задается вопрос: будет ли верна теорема
Виета для данного неприведенного квадратного
уравнения?
Учащиеся в парах обсуждают возникшую проблему,
пробуют сформулировать по аналогии обобщенную
теорему Виета. Обсуждаем полученные варианты
ответов. Затем выясняем, как бы выглядело
следствие для таких уравнений. Сравниваем со
следующим слайдом.
Слайд №8
Обобщенная теорема Виета:
Числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 тогда и только тогда, когда х1 + х2 = – b/а, х1х2 = с/а.
Следствие: ах2 + bх + c = а(х – х1)(х – х2).
VI. Обобщение и систематизация знаний учащихся осуществляются на основе решения задач
Учащимся предлагается применить полученные знания в следующих ситуациях.
Слайд №9
Решите следующие задания:
- В уравнении х2 + pх – 32 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.
- Один из корней уравнения 10х2 – 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
- Разность корней квадратного уравнения х2 – 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.
- Определите знаки корней квадратного уравнения (если они существуют), не решая уравнения: 5х2 – х – 108 = 0.
- Найдите b и решите уравнение (b – 1) х2 – (b + 1)х = 72, если х1 = 3.
Учащиеся решают в парах, полученные решения объясняют у доски.
VII. Подведение итогов урока и сообщение домашнего задания
Учащимся предлагается обратиться к сайту в интернете по адресу: http://mathem-poem.narod.ru/nach/uchen/uchg.htm – для ознакомления со стихотворением, две строки которого вынесены эпиграфом в начало урока. Один из учеников читает стихотворение.
Слайд №10
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого –
Умножить ты корни, и дробь уж готова:
В числителе «с», в знаменателе «а».
И сумма корней тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь та, ну, что за беда:
В числителе «в», в знаменателе «а».
Вопросы к учащимся:
– Что нового узнали на уроке?
– Что необходимо хорошо запомнить и понять?
Оценка работы всего класса и отдельных учащихся (выставление оценок за работу с тестом)
Слайд №11
VIII. Домашнее задание
Стр.121 – 124 прочитать, выучить теоремы и
следствия.
№ 575 (а, в, д), 577.
По желанию: При каких а уравнение ах2 –
6х + а = 0 имеет один корень?
Для учащихся I группы (сильных), решить уравнение:
2006х2 – 2007х + 1 = 0 (используя
следствия теоремы Виета)