Уравнения высших степеней

Цели урока: систематизировать и обобщить изученный в курсе алгебры материал о решении уравнений вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен, степень которого выше второй, а также уравнений, которые сводятся к указанному виду; повторить темы: операции над многочленами от одной переменной, разложение многочлена на множители, квадратные уравнения.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания к данному уроку:

Выяcнить, выполнено ли полностью домашнее задание, ответить на вопросы учащихся, собрать решения домашнего задания на проверку.

Тема: Квадратные уравнения.

№ 1. Решить уравнение:

а) х² + 12х – 64 = 0;

б) х² – | х | = 0;

в) 1 – = – .

№ 2. Определить, при каких значениях параметра а уравнение (2+а)х² + 6ах + 4а + 1 = 0 имеет два равных корня.

№ 3. Сократить дробь:

а) ;

б) .

№ 4. Не решая уравнение х+ Зх – 15 = 0 найдите:

а) сумму квадратов его корней;

б) сумму кубов его корней.

№ 5. На какое натуральное число надо разделить 73, чтобы частное было на 3 больше делителя, а остаток на 7 меньше частного?

Ответы:

№ 1.

а) –16 и 4;

б) –1; 0 и 1;

в) –9 и 2.

№ 2. –0,2 и 2.

№ 3.

а) ;

б) .

№ 4.

а) 39;

б) –162.

№ 5. на 7.

II. Рассмотреть методы решения уравнений высших степеней.

Метод разложения на множители.

Пусть нужно решить уравнение Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени п›2. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: Р(х) =Р(х) • Р(х) • …• Р(х), где Р(х), Р(х), …,Р(х) – многочлены более низкой степени, чем п. Тогда уравнение Р(х) = 0 примет вид Р(х) • Р(х) • …• Р(х) = 0, а потому оно равносильно совокупности уравнений Р(х) = 0, Р(х) = 0, …, Р(х) = 0.

Пример 1. x+ 2x+ 3x + 6 = 0 x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 (x + 2)(x+ 3) = 0 x = –2.

Пример 2. x+ 4 x– 24 = 0. Целый корень, если он существует, является делителем свободного члена. Методом подбора находим корень уравнения 2. Значит, многочлен x+ 4 x– 24 делится без остатка на (х – 2). При делении получим многочлен x+ 6x + 12.

x+ 4 x– 24 = 0 (х – 2)(x+ 6x + 12) = 0 x = 2.

Двое учащихся у доски выполняют аналогичные задания:

а) найти среднее арифметическое корней уравнения x+ x– 4x – 4 = 0 (ответ: –);

б) решить уравнение 2 x+ 3x– 28 = 0 (ответ: 2).

Остальные учащиеся класса выполняют в тетрадях задание № 1 самостоятельной работы, тексты которой у них на партах.

Метод введения новой переменной.

Для пояснения сущности этого метода рассмотрим следующий пример.

х– 10х+ 9 = 0 – биквадратное уравнение. Заменим х переменной t. Получим уравнение t– 10t + 9 = 0, корнями которого являются числа 1 и 9. Значит, корнями исходного уравнения являются числа ±1 и ±3.

Этот метод может применяться для решения многих уравнений.

Пример 1. (х– 3х)+ 3(х– 3х) – 28 = 0. Замена: t = х– 3х.

Ответ: –1 и 4.

Пример 2. (х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 3. Перемножим первый с четвёртым, а второй с третьим множителем в левой части уравнения. Получим (х– 5х + 4)(х– 5х + 6) = 3. Замена: t = х– 5х + 4.

Ответ: и .

Пример 3. (х – 9)(х – 3)(х + 6)(х + 2) = 56х. Перемножим первый с четвёртым, а второй с третьим множителем в левой части уравнения.

Получим (х– 7х – 18)(х+ 3х – 18) = 56х. Разделим обе части уравнения на хне равное 0.

Получим: (х – – 7)(х – + 3) = 56. Замена: t = х – .

Ответ: –9; ; 2 и .

Пример 4. х– 5х+ 4х+ 5х + 1 = 0. Разделим обе части уравнения на хне равное 0.

Получим: х– 5х + 4 + + = 0 х+ – 5(х – ) + 4 = 0. Замена: t = х – . Тогда х+ = t+ 2.

Ответ: ; 1 –; 1 + и .

Двое учащихся у доски выполняют аналогичные задания:

а) решить уравнение (х + 6)(х + 7)(х + 9)(х + 10) = 10 (ответ –8 ± ) ;

б) решить уравнение x+ – 8(х – ) = 4 (ответ: ± и 4 ± 3).

Остальные учащиеся класса выполняют в тетрадях задание № 2 самостоятельной работы, тексты которой у них на партах.

Отыскание дробных корней уравнений с целыми коэффициентами.

До сих пор методом подбора мы отыскивали только целочисленные корни уравнений. Сейчас рассмотрим примеры отыскания дробных корней. В основе этих приёмов лежит следующая теорема:

Если приведённое уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.

Доказательство. Возьмём для простоты уравнение третьей степени x+bx+cx+в = 0, где b, c, d - целые числа. Пусть r =- рациональный корень уравнения, - несократимая дробь. Подставим r = в уравнение: + + + d= 0. Умножим обе части уравнения на qне равно 0. Получим: p+ bpq + cpq+ dq = 0 p = q(-bp-cpq-dq).

Значит, p делится на q, но p и q – взаимно простые числа. Следовательно, q = 1, то есть r = p – целое число.

Аналогично доказательство проводится для уравнения произвольной степени.

Что и требовалось доказать.

Эта теорема используется следующим образом: если дано не приведённое уравнение с целыми коэффициентами, то с помощью специально подобранной подстановки его преобразуют в приведённое. Затем находят целый корень приведённого уравнения, а с его помощью – остальные корни. Возвращаются к исходной переменной, находят корни данного уравнения.

Пример 1. 21х + х – 5х – 1 = 0. Уравнения со свободным членом, равным ±1, легко преобразуется в приведённое с помощью почленного деления на х в старшей степени и заменой = t.

21 + – – = 0 21 + t - 5 t - t = 0 t+ 5 t- t- 21 = 0 (t+ 3)(t+2 t – 7) = 0.

Ответ: –; ; .

Пример 2. 4х – 10 х + 14х – 5 = 0. Домножим обе части уравнения на 2. Получим: 8х – 20 х + 28х – 10 = 0. Замена: t = 2х.

t– 5t+ 14t – 10 = 0 (t – 1)(t– 4t + 10) = 0. Ответ: .

Двое учащихся у доски выполняют аналогичные задания:

а) решить уравнение 8х + 10 х + х – 1 = 0 (ответ –1; –; ) ;

б) решить уравнение 4х – 16 х + 17х – 3 = 0 (ответ: ; ; ).

Остальные учащиеся класса выполняют в тетрадях задание № 3 самостоятельной работы, тексты которой у них на партах.

III. Самопроверка самостоятельной работы.

На доску вывешиваются ответы заданий самостоятельной работы. Учащиеся суммируют баллы за верно выполненные задания, выставляют оценки.

IV. Домашнее задание.

Тема: Уравнения высших степеней.

1. Решить уравнение, разлагая левую часть на множители:

а) 3х³ – 7х² – 7х + 3 = 0;

б) (2z + 3)³ + (z – 1)³ – 27z³ – 8 = 0;

в) х³ – 4х² + х + 6 = 0.

2. Решить уравнение методом введения новой переменной:

а) (х² – 3х + 1) (х² – 3х + 3) = 3;

б) 16х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 9;

в) + + 4 = 0;

г) x+ + x + = 4;

д) 6х⁴ – 35х³ + 62х² – 35х + 6 = 0;

е) (х+6) (х + 4) (х²– 5х + 6) = 40х²;

ж) 8х³ + 16х – 9 = 0;

з)10х³– 3х²– 2х+1=0.

Ответы:

№ 1.

а) –1; ; 3.

б) –; –; 3.

в) –1; 2; 3.

№ 2.

а) 0; 3.

б) –1,5; –1,5±.

в) –5; –1±; 1.

г) –1,5±; 1.

д) ; ; 2; 3.

е) –2; 6; –4,5±.

ж) 0,5.

з) – 0,5.

Текст самостоятельной работы.

I вариант.

№ 1.

а) Найти среднее арифметическое корней уравнения 3х⁴ + х³ – 12х² – 4х = 0;

б) Решить уравнение х³ – 6х² + 9х – 4 =0.

№ 2. Решить уравнение:

а) (х – 3)(х – 4)(х – 7)(х – 8) = 60;

б) 7(х + ) – 2(х+ ) = 9.

№ 3. Решить уравнение 10х³ – 3х² – 2х + 1 =0.

II вариант.

№ 1.

а) Найти среднее арифметическое корней уравнения 3х + 5х² – х³ = 15;

б) Решить уравнение х³ + 3х² + 4х – 8 =0.

№ 2. Решить уравнение: а) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 48;

б) Найти целые корни уравнения (6 – х)(х – 2)(х + 3)(х + 9) = 24х.

№ 3. Решить уравнение 21х³ – х² + х – 1 =0.

III вариант.

№ 1.

а) Решить уравнение х³ – 3х² + 3х – 9 = 0;

б) Найти среднее арифметическое корней уравнения

х³ – х² – 10х – 8 =0.

№ 2. Решить уравнение:

а) (х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = ;

б) Найти целые корни уравнения (х + 3)(6 – х)(х – 2)(х + 4) + 126х = 0.

№ 3. Решить уравнение 2х³ + 3х² + 2х – 2 =0.

IV вариант.

№ 1.

а) Найти среднее арифметическое корней уравнения

х³ + 2х² – 5х – 10 = 0;

б) Решить уравнение 3х³ – 7х² – 18 =0.

№ 2. Решить уравнение:

а) х(х + 1)(х – 1)(х – 2) = –;

б) Найти целые корни уравнения (х + 4)(2 – х)(х + 5)(10 – х) + 54х = 0.

№ 3. Решить уравнение 4х³ – 9х² + 6х – 1 =0.

О Т В Е Т Ы

О Ц Е Н К И:

• “5” - 20–23 балла;
• “4” - 16–19 баллов;
• “3” - 12–15 баллов.