Предлагаемый вариант занятий был проведен в зимние школьные каникулы в 6-ом классе. Поэтому задачи были подобраны с учетом знаний на данный момент. Список литературы поможет вам отыскать задачи для своих учеников.
Каждое занятие длилось 2 урока. Каждый раз задавалось домашнее задание (выполнялось на двойных листах, сдавалось и не возвращалось до последнего занятия), правильное решение задачи оценивалось в1 балл. Приветствовалось решение задач пропущенных в предыдущих домашних работах. Каждый день вывешивался рейтинг учащихся. Итоговое количество баллов делилось на 5, округлялось до целых и такое количество “пятерок” выставлялось в журнал (максимально 5 оценок). Такой способ оценивания послужил хорошим стимулом при выполнении домашних заданий.
Темы занятий.
1занятие. ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
Познакомить учащихся с версией возникновения знака %. Разобрать решение задач исторического содержания. Рассказать о решении посредством “сложного тройного правила”. Вспомнить правила нахождения процента от числа и числа по его процентам.
2 занятие. ЗАДАЧИ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ.
Проверить домашнее задание (ответы, но не решение). Познакомить с понятием “концентрация вещества”. Разобрать решение задач на нахождение процентного отношения вещества в смеси.
3 занятие. СХЕМЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СМЕСИ.
Проверить ответы домашнего задания. Разобрать решение аналогичных задач д/з. Познакомить со схемами при решении задач на смеси.
4 занятие. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ.
Проверить ответы домашнего задания. Предложить учащимся решить задачи аналогичные задачам в д/р. Вывести формулу сложных процентов. Показать применение этой формулы в реальных условиях.
5занятие.КОНКУРСНЫЕ ЗАДАЧИ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ.
Решить с учащимися задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, с использованием полученных знаний на предыдущих занятиях.
6 занятие. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ.
Систематизировать полученные знания. Подтолкнуть учащихся к самостоятельной работе по данной теме. Порекомендовать литературу для изучения. Решить с учащимися наиболее интересные нестандартные задачи из курса (возможно задачи д/р.)
Конспект занятия №4.
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ.- Проверка д/з по ответам.
- Актуализация знаний.
Задача №1.Имеется, лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого сорта, чтобы получить 140т стали с 30% содержанием никеля?
Решение:
0,05(140-х)+0,4х=140·0,3
х=100
100т—40% никеля
40т—5% никеля
Пусть к коэффициент пропорциональности, тогда
2к-масса сплава 5% никеля,
5к-масса сплава 40% никеля.
2к+5к=140
к=20
40т—масса сплава с 5% никеля
100т –масса сплава с 40% никеля.
3. Решение задач.
4.1.Сберегательный банк выплачивает 20% дохода в год от вложенной суммы. Сколько рублей окажется на счету через 3 года, если положили 60$?
Решение:
- увеличим 60 на 20%
- увеличим 72 на 20%
- увеличим 86,4 на 20%
60+60·0,2=72; 72$ --через год.
72+72·0,2=86,4; 86,4$-- через 2года
86,4+86,4·0,2=103,68; 103,68$ --через 3 года.
Ответ: 103,68
А теперь давайте решим эту задачу в общем виде.
4.2.Решите задачу 4.1, если вклад равен а0, доход—р%, срок –n лет?
Решение:
Денежный вклад, равный а0 через год возрастает на р%. Через год он будет равен:
а0+ а0 (р:100)= а0(1+р:100)
Через еще один год
а0(1+0,01р)+ а0(1+0,01р)(0,01р)= а0(1+0,01р)(1+0,01р)= а0(1+0,01р)2
А через n лет денежный вклад будет равен а0(1+0,01р)n
Ответ: а0(1+0,01р)n (формула сложных процентов)
Давайте решим задачу 4.1 с помощью формулы.
Решение:
Р=20% , а0=60$ ,п=3
60(1+0,01·20)3=60·1,23=103,68
А теперь задачу из д/р 1.3
Решение:
Р=3%, а0=1000руб., п=2
1000(1+0,01·3)2=10609
А как быть в случае снижения на р%? А0·(1-0,01р)п формула сложных процентов.
4.3.В течение 3-х дней магазин снижал стоимость книги на 50%. Какова цена книги, если первоначально она стоила 172руб. 80коп.?
Решение:
172,8·(1-0,5)3=21,6
Ответ: 21руб. 60коп.
4.4.Цену на ремонт телевизора сначала увеличили на 30%, затем еще на 20%, а под Новый год уменьшили на 50%. Выразите в процентах окончательное изменение цены по сравнению с первоначальной.
Решение:
Пусть цена была х рублей. В ходе изменения она стала х(1+0,3)(1+0,2)(1-0,5)=0,78х
Итак, была х рублей, стала 0,78х рублей. Разница составляет 0,22х или 22%.
Ответ: 22%
4.5.Банк выплачивает 20% годовых. Через сколько лет внесенная сумма увеличится в 1,44раза?
Решение:
Пусть цена была х рублей, через к лет она станет х·(1+0,2)к или по условию 1,44х .
Итак,
х·1,2к=1,44·х
к=2
Ответ: через 2 года.
4. Подведение итогов. Запись д/з.
Задачи, решаемые в классе.
1 занятие.
1.1.Найти процентные деньги с капитала7285 руб., отданного в рост по 8% на 3,5 года. (ответ: 2039,8руб.)
1.2.Какой капитал, отданный в рост по 6,75% принесет в 6лет 8 месяцев 3330рубле процентных денег? (ответ: 7400руб.)
1.3.Какой капитал, отданный по 5% обратиться через 6 лет в 455 рублей? (ответ: 350руб.)
1.4.Поскольку процентов(по какой таксе) надо отдать капитал 15108 руб., чтобы в 2 года 8 месяцев получить 2417 руб.28коп процентных денег? (ответ: 6%)
1.5.На сколько времени надо отдать 2485руб. по 7%, чтобы получить 139руб.16коп. процентных денег?(ответ: 9мес.18дней)
2 занятие.
Актуализация знаний (устно)
№1. Что больше а) 12% от 34 или 13% от 34
б) 12% от 49 или 12% от 50; в) 11% от 72 или 12% от 73?
№2. В делегации иностранных гостей 50% говорили по-французски и 60% по-английски. Могло ли быть такое?
№3. Зарплата мамы увеличилась на 70%, а зарплата папы только на 60%. Означает ли это, что мама получила большую прибавку зарплаты, чем папа?
№4(записать решение). От полного стакана черного кофе отпили половину и долили столько же молока. Затем отпили третью часть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока. Затем отпили шестую часть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока. Только после этого выпили все до конца. Чего в итоге выпили больше: молока или черного кофе?
Задачи, решаемые в классе:
2.1.Масса сплава, в который входят олово и свинец равна 400г. В сплаве 68% олова. Найдите процентное содержание олова и свинца. (Ответ: m=128г, n=32%).
2.2.Сплав состоит из 2кг меди, 3кг свинца и 5кг железа. Какова концентрация меди, свинца и железа в сплаве? (nm=20%, nc=30%, nж=50%)
2.3.В стакан с водой (масса 230г) бросили 2 куска сахара (масса одного кусочка 10г). какова концентрация сахара в полученном растворе? (Ответ: 8%)
2.4.Концентрация сахара в водном растворе 5%. Известно, что в нем30г сахара. Найдите массу воды, добавленную к сахару. (Ответ: 570г)
2.5.Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, второй-26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150кг первого сплава и 250кг второго, получили новый сплав, в котором 30% цинка. Определите, сколько килограмм олова содержится в новом сплаве? (Ответ:170кг)
2.6.Собрали 100кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после подсушивания? (ответ: 50кг)
2.7.Сколько чистой воды надо добавить к 100г 60% раствора кислоты, чтобы получить 20% раствор? (Ответ: 200г)
2.8. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%? (Ответ: 60кг)
3 занятие.
Актуализация знаний (письменно)
№1.Смешали 300г 50% раствора и 100г 30% раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.
№2.К 2л водного раствора, содержащего 60% кислоты добавили 4л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.
№3.Сколько литров кислоты нужно добавить в 36л водного раствора, содержащего 45% кислоты, чтобы получить 60% раствор кислоты?
Задачи, решаемые в классе:
3.1.В двух сплавах меди и цинка отношение меди к цинку 4:3 и 2:3 соответственно. После переплавки 140кг первого сплава и 150кг второго сплава и некоторой массы чистой меди получили сплав. В котором меди на 20 кг больше, чем цинка. Найти массу нового сплава. (ответ: 320кг)
3.2.Имеется чай двух сортов по 80руб. и 120 руб. за 1кг. Смешали 300г первого сорта и 200г второго сорта. Определите цену 100г полученной смеси. (ответ: 9,6руб.)
3.3.У некоторого торговца были для продажи вина двух сортов. Первое ценою 10гривен ведро, второе - по 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из тех двух вин, третье вино, чтобы цена ему была 7 гривен. Какие части вин надлежит взять к наполнению ведра третьим вином ценою 7 гривен?
3.4.В каких пропорциях нужно смешать раствор 50% и 70% кислоты, чтобы получить раствор 65% кислоты? (ответ: 1часть 50% и 3части 70%)
3.5.Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом—в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11? (ответ: 125г и 875г)
5 занятие.
5.1.(МГИЭТ). Сколько надо взять 5%-го и 25%-го раствора кислоты, чтобы получить 4л 10%-го раствора кислоты? (ответ: 3л и 1л)
5.2.(ЕГЭ). Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? (ответ: 1,5кг)
5.3.Производительность труда на заводе снизилась на 20%. На сколько процентов надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной? (ответ: 25%)
5.4.(ЭМШ при МГУ). Забывший студент покупает каждый день тетрадку и ручку. После того, как цена тетради выросла на 15%, а ручки на 5% суммарная стоимость покупки выросла на 13%. Сколько стоила тетрадка, если ручка стоила 9руб.? (ответ: 36руб.)
5.5. (МТУСИ).Имеется два сплава золота и серебра: водном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, в другом—в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11? (ответ: 1кг и 7кг)
6 занятие.
6.1.(решить, используя, калькулятор). Банк “Бабки Ешки” выплачивает 9% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится? (ответ: приблизительно 8лет)
6.2.В гимназии 10% неуспевающих учеников. После сессии отчислено 40 неуспевающих, в результате чего осталось 2,8% неуспевающих. Сколько учеников было в гимназии до отчисления? (ответ: 540чел.)
6.3.Одна бригада может убрать поле за 12 дней. Другой бригаде надо для выполнения этой же работы 75% этого времени. После того как в течение 5 дней работала одна первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе? (ответ: 3дня)
6.4.Вкладчик на свои сбережения получил через год 5% годовых. Добавив еще 85руб., он оставил деньги еще на год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 420руб. Какая сумма была положена первоначально? (ответ: 300руб.)
6.5.Гонщик-мотоциклист подсчитал, что при увеличении скорости на 10% он пройдет круг по кольцевой дороге за 15минут. На сколько процентов он должен увеличить скорость, чтобы пройти круг за 12 минут? (ответ: 37,5)
Литература.
Материал к занятиям был подобран по материалам газеты “Математика” приложение к “Первое сентября”
№36 2002 (стр3), №20 2004 (стр22), №36 2004 (стр14), №12 2004 (стр15), №17 2004 (стр29), №23 2004 (стр18), №22 2005 (стр19), №30 2002 (стр29), №17 2001 (стр15), №22 2004 (стр29), №11 2004 (стр5), №24 2005 (стр20).