Развитие алгоритмического мышления школьников на уроках математики посредством решения логических задач

Решая логические задачи на уроках математики, учитель создает реальные предпосылки для дальнейшего систематического ознакомления учащихся с различными случаями применения имеющихся у учащихся знаний в ситуациях сходных реальной действительности.

1. Например, таковыми являются задачи, относящиеся к так называемым задачам на переливания. Следует отметить, что и познавательный потенциал рассмотрения таких задач достаточно велик.

Рассмотрим в качестве примера следующие задачи.

1.1. В первый сосуд входит 8 л, во второй – 5 л, в третий – 3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л воды?

Условие данной задачи очень просто по своему содержанию, что делает его доступным ученикам начальной школы.
Составим таблицу данных и используем ее в процессе решения.

На VI этапе получаем необходимое значение в первом сосуде.

1.2. Как, имея лишь два сосуда емкостью 5 л и 7л, отмерить 6 л воды?

Решение.

1.3. Каким образом из реки можно принести ровно 6 л воды, если имеется только два ведра: одно емкостью 4 л, другое – 9 л?

Решение.

1.4. Бидон емкостью 10 л заполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом еще один бидон, вмещающий 3 л.

Решение.

1.5. Имея два бидона емкостью 4 л и 5 л, можно ли налить в ведро 3 л воды, если емкость ведра не менее 3 л?

Решение.

2. Сходны с задачами на переливания задачи на затруднительные положения, например, переправы. Решение таких задач возможно путем описания порядка действий или заполнения таблиц.

2.1. Как перевезти в лодке с левого берега на правый волка, козла и капусту, если известно, что волка нельзя оставить без присмотра с козлом, а козел “неравнодушен” к капусте. В лодке только 2 места, поэтому можно брать с собой одновременно или одно животное или капусту.

Решение.

Опишем организацию перевозки.
В первом рейсе перевозчик берет с собой козла, оставляя на левом берегу волка и капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там козла и возвращается на левый берег.
Во втором рейсе перевозчик берет с собой волка, оставляя на левом берегу капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там волка, забирает с собой козла и возвращается с ним на левый берег.
В третьем рейсе перевозчик берет с собой капусту, оставляя на левом берегу козла. Переехав на правый берег, оставляет там капусту с волком и возвращается на левый берег.
И, наконец, в четвертом рейсе он перевозит с левого берега на правый козла.

2.2. Как перевезти в лодке с левого берега на правый козла, капусту, двух волков и собаку, если известно, что волка нельзя оставлять без присмотра с козлом и собакой, собака в “ссоре” с козлом, а козел “неравнодушен” к капусте? В лодке только три места, поэтому можно брать с собой не более двух животных или одно животное и капусту.

Решение.

В первом рейсе перевозчик берет с собой козла и собаку, оставляя на левом берегу двух волков и капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там козла и с собакой возвращается на левый берег.
Во втором рейсе перевозчик берет с собой собаку и капусту, оставляя на левом берегу только волков. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там собаку и капусту, а с козлом возвращается на левый берег.
В третьем рейсе перевозчик берет с собой двух волков, оставляя на левом берегу козла. Переехав на правый берег, он оставляет там двух волков и капусту, берет с собой собаку и возвращается на левый берег.
В четвертом рейсе перевозчик забирает с собой собаку и козла и переезжает на правый берег. На этом перевоз закончен.

2.3. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Как солдаты смогли переправиться через реку?

Решение.

Мальчики на лодке плывут к другому берегу. Один из них остается там, а другой возвращается. Один солдат переправляется, вылезает, а мальчик возвращает лодку. Таким образом, чтобы переправить одного солдата, лодка 4 раза плывет от берега до берега. Аналогично переправляются остальные.

3. Одним из способов решения последующих задач является последовательное заполнение соответствующих таблиц в соответствии с алгоритмом разрабатываемым самими учащимися.

3.1. Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: “Любопытно, что один из нас русый, другой – брюнет, а третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии”. Какой цвет волос имеет каждый из беседующих?

Решение.

Для решения задачи воспользуемся таблицей.

По условию задачи Белокуров не русый, Чернов не брюнет, и Рыжов не рыжий. Это позволяет поставить знак “–” в соответствующих клетках. Кроме того, по условию задачи Белокуров не брюнет, и, значит, в клетке на пересечении строки “Белокуров” и столбца “Брюнет” также нужно поставить знак “–”.

Из таблицы следует, что Белокуров может быть только рыжим. Поставим знак плюс в соответствующей клетке. Отсюда видно, что Чернов не рыжий. Обозначим это знаком минус в таблице. Теперь ясно, что Чернов может быть только русым, а Рыжов – брюнетом.

3.2. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:

1. вода и молоко не в бутылке;
2. сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;
3. в банке не лимонад и не вода;
4. стакан стоит около банки и сосуда с молоком.

Куда налита каждая жидкость?

Решение.

Воспользуемся следующей таблицей.

Из условия 1 задачи следует, что в бутылке не вода и не молоко, и поэтому в соответствующих клетках нужно поставить знак минус. Из условия 2 следует, что в кувшине не лимонад и не квас. Отметим это в таблице. Из условия 3 известно, что в банке не лимонад и не вода. На пересечении столбца “Банка” и строк “Лимонад” и “Вода” ставим минусы. Из условия 4 следует, что молоко не в банке и не в стакане. Для молока остается кувшин. Эти данные заносим в таблицу.

Теперь, когда все условия задачи использованы, видно, что молоко в кувшине, а квас в банке. Поэтому квас не может быть в бутылке и стакане, а вода не в кувшине. Поставим знак минус в этих клетках. При этом становится ясно, что лимонад в бутылке, а вода в стакане.

3.3. Три подруги вышли погулять в белом, зеленом и синем платьях и в туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и цвет туфель совпадают. Ни туфли, ни платье Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель на каждой из подруг.

Решение.

Для решения воспользуемся следующей таблицей:

Так как Наташа была в зеленых туфлях, то обозначим это знаком плюс в таблице и пометим, что туфли у нее не могут быть белыми и синими. У Ани и Вали в столбце “Цвет туфель зеленый” ставим минус. Так как ни туфли, ни платье Вали не были белыми, то в соответствующих клетках ставим знак минус. Теперь видно, что у Ани туфли белые, а у Вали – синие. Так мы установили цвета туфель девочек. При этом, учитывая условие задачи, мы делаем вывод, что у Ани платье белое, у Вали платье не синее, а у Наташи платье не зеленое. Следовательно, у Вали платье зеленое, а у Наташи – синее.

3.4. Три студента: Андреев, Борисов и Воронов – учатся на различных факультетах Новгородского педагогического института (историческом, физико-математическом и иностранных языков). Все они приехали из различных городов: Таллинна, Твери, Вышнего Волочка, причем один из них увлекается футболом, другой – баскетболом, третий – волейболом. Известно, что:

1) Андреев не из Вышнего Волочка, а Борисов не из Твери.
2) Студент, приехавший из Вышнего Волочка, учится не историческом факультете.
3) Тверянин учится на факультете иностранных языков и увлекается футболом.
4) Воронов учится на историческом факультете.
5) Студент физико-математического факультета не любит волейбол.

Из какого города приехал каждый студент, на каком факультете он учится и каким видом спорта увлекается?

Решение.

Воспользуемся тремя таблицами.

 

 

Из первого условия следует, что на пересечении строки “Андреев” и столбца “В. Волочек”, а также в клетке “Борисов – Тверь” надо поставить знак минус.

Из второго условия следует, что в клетке “В. Волочек – исторический” третьей таблицы следует поставить знак минус.

Из третьего условия следует, что в клетке “Тверь – иностранный язык” третьей таблицы следует поставить знак плюс. Но тогда студенты из Таллинна и В. Волочка не могут учиться на факультете иностранных языков. Кроме того, студент из Твери не учится на историческом и физико-математическом факультетах. Поставим знак минус в соответствующих клетках. Но тогда, очевидно, что таллиннец учится на историческом, а студент из В. Волочка – на физико-математическом.

По четвертому условию Воронов учится на историческом факультете, и поэтому Воронов из г. Таллинна, а Андреев и Борисов живут в другом городе. Отметим это в таблице. Воронов не житель Твери и В. Волочка. В этих клетках можно поставить знак минус. Тогда, очевидно, что Борисов живет в В. Волочке, а Андреев – в Твери. Первая таблица заполнена.

По условию 3 тверянин увлекается футболом. Но тверянином является студент факультета иностранных языков Андреев. Значит, Андреев увлекается футболом, и поэтому в соответствующей клетке второй таблицы поставим знак плюс и отметим, что Андреев не играет в баскетбол и волейбол, а Борисов и Воронов не увлекаются футболом.

Наконец, студент физико-математического факультета не любит волейбола. Этот студент – житель В. Волочка, т. е. Борисов. Во второй таблице ставим знак минус в строке “Борисов” и столбце “Волейбол”. Таблица легко заполняется до конца.