Производные тригонометрических функций tg x и ctg x

Разделы: Математика

Цели:

  • Обучающая – организовать деятельность учащихся по проверке ранее изученного материала, создать проблемную ситуацию для нахождения формул производных функций tg x и ctg;
  • Развивающая – формировать умения применять новые формулы при нахождении производных сложных функций;
  • Воспитывающая – продолжить воспитание мотивации учения, раскрывая практическую значимость изучаемого материала.

Оборудование: на столах у учащихся карточки с дифференцированной самостоятельной работой.

Девиз урока: “Добывай знания сам”

Вводная беседа

Сегодня вы сами выведете формулы тригонометрических функций tg x и ctg x. Научимся находить производные сложных тригонометрических функций, которые необходимы вам при решении задач в физике по теме “Электромагнитные колебания. Электромагнитная индукция”, а также для решения задач по заочной ФТШ.

I. Актуализация ранее приобретенных знаний (на доске задания для устного решения):

Найти ошибку: Найти производную функции:
1) ((5 – x)2)/=10(5 – x);

2) ((2x + 1)2)/ =2(2x + 1);

3) ((sin /2 – 2x)3 )/= -6x2;

4) ( )/ = -2.

 1) (2sin x)/;

2) (cos 5x)/;

3) (sin(8x – 4))/;

4) (-1/3 cos(3x + /4).

II. Новый материал.

Учитель предлагает учащимся найти производную функций y=tg x, y=ctg x, используя различные примеры:

1) y= tg x, x/2, k e z

y/=(tg x)/=(sin x)/(cos x)= ((sin x)/cos x- sin x(cos x)/)/cos2x= 1/cos2x;=>(tg x)/=1/cos2x

При нахождении производной ctg x ребята сами получают формулу:

2) y=ctg x, x /n, n e z;

a) y=(ctg x)/=(cos x/sin x)/=((cos x)/sin x – cos x(sin x)/)/sin2x=(-1)/sin x;

б) y=ctg x= 1/tg x;

y/=(1/tg x)/=(1/ tg x-(tg x)/)/tg2x= -(1/cos2x*tg2x)= -1/sin2x;

в) ctg x=tg-1 x;

y/=(tg-1 x)/= -tg-2x*(1/cos2x)= -1/sin2x;

таким образом: (ctg x)/= -1/sin2x.

Учитель предлагает вспомнить производную сложной функции и записать ее на доске: f(g(x))/=f/(x)*g/(x).

III. Закрепление нового материала (решение вместе):

1) Найти производную функции:

а) (tg(2x2+1))’; (tg(2x2+1))/= 4x/cos2(2x2+1);
б) (ctg2x)/; (ctg2x)/= -2cos x/sin3x;
в) (tg23x)/; (tg23x)/= 6sin3x/cos33x;
г) ()/. ()/=.

Работа с таблицей.

2) Решение заданий А3, А4, Б3, Б7 (таблица).

Дифференцированная проверочная работа по теме “Производные тригонометрических функции”

Вариант А

Вариант Б

Вариант В
1) y=(1-sinx)/(1+sinx),
y/(45);

2) y=sin(4x-1);

3) y=sin5x+cos(x+);

4) y=cos5x;

5) y=sin(x2+3x);

6) y=(1+ctgx)/ctgx;

7) y=(1+cosx)/(cosx-1);

8) y=tgx-ctgx.

 1) y=tg(2x2+3);

2) y=sinx2;

3) y=1/sin(x3-1);

4) y=tg;

5) y=ctgx3;

6) y=;

7) y=1/sin43x;

8) y=(2cosx+sinx)/(3sinx-cosx),
y/( )-?

 1) y=;

2) y=;

3) y=3;

4) y=tgx sin2x;

5) y= -ctg(x/2)-1/3ctg3(x/2);

6) y=;

7) y=cos(x3)/cos3x;

8) y=(3cos2x-2sin2x)/(1-4sin2x),
y /()-?

A3: y=sin5x+cos(x+ /6),

y /=5cos5x-sin(x+ /6);

A4: y=cos5x,

y /= -5cos4x sinx;

Б3: y=1/sin(x3-1),

y /= -3x2/sin2(x3-1);

Б7: y=1/sin43x,

y /= -12cos3x/sin53x.

3) Самостоятельная работа с самопроверкой (решение и ответы заранее написаны учителем на доске). Учащиеся решают задания А5, Б5, Б4, Б9 (таблица).

A5: (sin(x2+3x))/=(2x+3) cos(x2+3x);

Б5: (ctgx3)/= -3x2 = -3x2/sin2x3;

Б4: (tg)/=1/2(2x)-1/2*2*=*cos2 ;

Б9: (sin4(3x+ /3))/=3cos(3x+ /3)*4sin3(3х+ /3)=12sin3(3x+ /3)cos(3х+ /3).

4) Дифференцированная работа (выполнение варианта В).

Группа I. В домашних тетрадях выполняют работу.

Группа II. Делают работу над ошибками по предыдущим номерам. Затем приступают к выполнению варианта В.

IV. Далее учитель подводит итоги занятия, сообщает оценки и дает пояснение к домашнему заданию.

Домашнее задание: учебник Алимова № 506 (3, 4), 515 (3, 4), 516 (1, 2), 517 (2), дополнительно – № 518.