Дидактическая игра на уроках математики

Разделы: Математика, Внеклассная работа

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК – ДИДАКТИЧЕСКАЯ ИГРА
"ЗВЕЗДНЫЙ ЧАС"

"Обучение – это ремесло, использующее бесчисленное количество маленьких трюков". Д. Пойа

ЦЕЛИ:

  • знать основные свойства показательной функции;
  • уметь строить графики, определять функцию по графику, решать уравнения, применяя метод сведения к одинаковым основаниям, метод ведения новой переменной, графический метод;
  • развитие вычислительных навыков, культуры общения.

ОБОРУДОВАНИЕ:

  1. Наборы цифр 1; 2; 3; 4.
  2. Кубики с буквами.
  3. Карточки.
  4. Графики функций.
  5. Звезды.
  6. Призы.
  7. Плакаты.
  8. Листки.

“Да путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!”

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Объявление темы, целей, правил игры. Участвуют 6 команд по 2 участника. Остальные – болельщики. По итогам каждого тура одна команда выбывает.

За правильный ответ - 5 б.

При ошибке - 4 (3) б.

Дополнительный ответ – звездочка.

Баллы подсчитывает ассистент.

2. ХОД ИГРЫ

I ТУР

№ п/п

ВОПРОСЫ И ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

ОТВЕТЫ

1.

 На каком рисунке показательной функции с основанием а>1

2

2.

 На каком рисунке графики убывающих функций?

1; 4

3.

 На каком рисунке графики показательной функции с основанием 0 < a <1

4

4.

 Какие рисунки являются графиками степенной функции?

1; 3

5.

 На каком рисунке графики функции y = -kx + 1?

1

Итоги: Выход одной команды

II ТУР

№ п/п

ВОПРОСЫ И ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

ОТВЕТЫ

1.

 Выберите верные утверждения (варианты ответов предложены на листках командам)

1. П.ф. имеет экстремумы
2. П.ф. принимает значение равное нулю.
3. П.Ф. принимает значение равное 1.
4. П.ф. принимает только положительное значение.

3; 4

2.

 Выберите функции, которые являются монотонно возрастающими

1. у = 3х
2. у = 0,5х
3. у = (1/4)х
4. у = (1,3)х

1; 4

3.

 Графическое решение какого уравнения приведено на рисунке?
1. 2х = х + 1

2. 2х = 1 - х

3. (1/2)х = 1 + х

4. (1/2)х = -х + 1

1

Итоги: Выход второй команды

III ТУР

КУБИКИ С БУКВАМИ

Из предложенных букв составьте слово по теме или какое-нибудь математическое слово. Если есть, то можно использовать звездочку.

ОТВЕТ: Функция.

ДРУГИЕ СЛОВА: Куб, цилиндр.

Слова писать на предложенных табличках.

Итоги: Выход третьей команды.

IV ТУР

№ п/п

ВОПРОСЫ И ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

ОТВЕТЫ

1.

 Какие строчки решенного примера надо переставить, чтобы записи были по порядку 72х-3 = 49. Записать на доске

1. х = 2,5
2. 2х – 3 = 2
3. 2х = 5
4. 72х – 3 = 49

1; 4

2.

 Какие уравнения решаются введением новой переменной? Прорешайте их.
Записать на доске

1. 4х – 3*2х – 4 = 0
2. 22х + 1 + 22х – 1 – 28 = 0
3. 32х + 1 – 9 = 0
4. 22х - 5*2х - 24 = 0

1) 4х – 3*2х – 4 = 0
22х – 3*2х – 4 = 0
2х = у; 22х = у
у2 - 3у – 4 = 0
Д = 25 = 52 		4) 22х – 5*2х – 24 = 0
2х = у 22х = у2
у2 - 5у – 24 = 0
Д = 25 + 4*24 = 121 = 112

 

 

1; 4

 

1. x = 2

4. x = 3

3.

 Какие примеры имеют ответ х = 1? Записать на доске.

1. 34х + 7 = 27
2. 52х – 1 = 5
3. 0,3х2 - 1 = 1

1) 34х + 7 = 27
  34х + 7 = 33

4х + 7 = 3
4х = -4
х = -1

 2) 52х – 1 = 5
2х – 1 = 1
2х = 2
х = 1		 3)

х2 – 1 = 0
х2 = 1
х = 1

 4)

-2х + 5 = 3
-2х = -2
х = 1

2; 4

Итоги: Выход четвертой команды.

V ТУР

Составьте наибольшее количество слов и букв, образующих слово за 1 минуту.

П О К А З А Т Е Л Ь Н А Я

Итоги: награждение победителя, запись домашнего задания.

Урок – пресс-конференция

Нет ни одной области математики,
которая когда-нибудь не окажется применимой
к явлениям действительного мира.
Н.И. Лобачевский

Цели:

  • систематизирование и обобщение знаний по теме: "Производная и ее применение";
  • раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы в исследовании процессов современного производства;
  • формирование познавательной активности, умение рационально работать. Развитие культуры математической речи.

Оборудование: графопроектор, экран, цветной мел, карточки-задания, таблички с указанием названий газет и журналов, чертежные принадлежности, изображение трех групп формул.

Ход урока

1. Организационный момент

Учащиеся занимают свои места в исследовательских группах. Рассаживаются корреспонденты периодических изданий, у каждого табличка – какое издание представляет.

2. Разминка

Слово преподавателя. Сегодня вы – сотрудники научно-исследовательского института, участники пресс-конференции. У нас присутствуют корреспонденты различных изданий, желающие получить ответы на интересующие их вопросы. Для начала давайте ознакомим гостей с проблемой, над какой мы работаем. Предлагаю вам такое задание.

Имеются три ящика и функции. Надо установить соответствие между ящиками и функциями. Работая в малых подгруппах, из предложенных функций выберите только те, для которых производная находится только по предложенному правилу, и найдите ее.

1. у = 2 х6 + х – 1
2. у = 5 Log3 х
3. у = х·eх
4. у =
5. у = 7·2х 		6. y =
7. у = sin x cos x
8. y =
9. y = x2 In x
10. у =

Ответы:

1 ящик – 1), 2), 4), 5), 10).

2 ящик – 3), 7), 9).

3 ящик – 4), 6), 8).

3. Интервью с корреспондентами

А. Корреспондент журнала "Наука и Жизнь"

По просьбе читателей в рубрике "Наш толковый словарь" мы должны дать математическое значение слова "производная, ее геометрический смысл". Помогите нам в этом вопросе.

Ответ:

Производной функции F в точке x0 называется предел отношения изменения функции f к изменению аргумента х при изменении аргумента х, стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно условному коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Для того, чтобы задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной.

Рассмотрим рисунок № 1.

Угловой коэффициент секущей определяется так:

k = tg a =

Угловой коэффициент прямой y = kх + b равен тангенсу угла , который эта прямая образует с осью абсцисс. При х, стремящемся к 0, угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной f`(x0), поэтому говорят, что касательная – есть предельное положение секущей.

Имея в виду геометрическое определение касательной к графику функции f, дифференцируемой в точке х0, называется прямая, проходящая через точку (х0; f (x0)) и имеющая угловой коэффициент F`(x0) мы получим, что существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х0; f (x0)), причем угловой коэффициент касательной равен f`(x0).

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной позволяет дать наглядную иллюстрацию многих фактов.

Например: касательная к параболе у = х2 в точке х0 пересекает ось 0х в точке х0/2 .

Рассмотрим рисунок № 2

Отсюда следует простой геометрический способ построения касательной к параболе у = х2. Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F.

Фокусом F является точка, в которую можно поместить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы.

Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси 0у, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, что и прямая АВ.

Б. Корреспондент журнала "Квант"

Вы изучаете производную. Объясните ее механический смысл. В редакцию нашего журнала прошло письмо учащегося ГОУ ПУ № 8 г. Свободный, в котором он предлагает задачу: "Количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой g (t) = t + 4 / t. В какой момент времени t сила тока в цепи равна 0"? Помогите разобраться в задаче.

Ответ:

Производная – это скорость. С движением связаны две величины – путь S, скорость v, которые являются функциями времени:

S = S (t); v = v (t);

Ясно, что S и v связаны между собой. Исаак Ньютон в конце XVII века открыл общий способ вычисления скорости по заданному пути. С помощью этого способа можно для каждой функции S построить новую функцию v. Эту функцию называют производной функции S, а сам переход от S к v – дифференцированием. v (t) = S` (t).

Открытие Ньютона показало, что количественные характеристики самых различных процессов, исследуемых в физике, химии, биологии, в технических дисциплинах, и выраженные на языке математического анализа, самая простая модель механического движения, и самый короткий ответ, что Производная – это скорость.

Сила тока I – это производная от заряда g (t)

Если g (t) = t+ 4/t

I (t) = g` (t) = (t + 4/t )` = 1 – 4/t2

I (t) = 0 при 1 – 4/t2= 0

(t2 - 4) / t2 = 0

Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)

Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).

Производная – это скорость роста функции.

  1. Мощность – это производная работы по времени P = A` (t).
  2. Сила тока – производная от заряда по времени I = g` (t).
  3. Сила – есть производная работы по перемещению F = A` (x).
  4. Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q` (t).
  5. Давление – производная силы по площади P = F` (S)
  6. Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
  7. Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
  8. А успехи в учебе? Когда вырастают знания.

В. Корреспондент журнала “Техника молодежи”

Молодые инженеры-конструкторы работают над созданием моделей с новыми скоростями. Они предложили на суд читателей задачу.

“Два тела движутся прямолинейно по законам:

S1 (t) = 2,5t2 – 6t + l
S2 (t) = 0,5t2 +2t –3

В какой момент времени скорости тел будут равны?

Как бы вы ответили на этот вопрос?” Помогите читателям.

Ответ:

v (t) = S' (t)
v1 (t) = v2 (t)
v1 (t) = S1' (t) = (2,5 t2 – 6t + 1)' = 5t – 6
v2 (t) = S2'(t) = (0,5 t2 + 2t – 3)' = t + 2

Значит:

5t – 6 = t + 2
5t – t = 2 + 6
4t = 8
t = 2

При t = 2 (с) скорости тел будут равны.

Г. Корреспондент газеты “Свободненский вестник”

К нам обратился читатель с таким вопросом.

Над центром круглой площади надо подвесить фонарь. При какой высоте подвески (столба) на краях площадки получится наибольшая освещенность?

Ответ:

Из физики известно, что освещенность Е в точке А выражается формулой

Е = k, где
k – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.
l – расстояние от фонаря до точки А.
– угол, получаемый между прямой l и плоскостью площадки.

По определению косинуса угла cos = r/l, где r – противолежащий катет, l – гипотенуза.

Выразим: l = r/cos2; J2 = r2/cos2.

Подставим 12 в формулу

Исследуем функцию на экстремумы на отрезке [0; ]

Е' = (sin cos2)' = (cos cos2 + sin(-2cos sin))

Е' = (cos3 – 2sin2 cos)

Решая уравнение: Е' = 0

cos (cos2 – 2sin2 ) = 0

cos = 0 cos2 – 2sin2 = 0 (:cos2 )

= 0°, 

1 – 2tg2 = 0

2tg2 = 0

tg2  = 1/2

tg =

Так как при = 0 и = Е будет равна 0, а при 0< 0 <   Е будет > 0. Ясно, что 0 отвечает наибольшей освещенности (Енаиб). Требуемая высота столба вычисляется по формуле h = r*tg0 = r* 0.7r

Ответ: высота h столба 0,7r площадки.

4. Подведение итогов урока, задание на дом

Подошла к концу наша пресс-конференция. Будем надеяться, что корреспонденты получили исчерпывающие ответы и довольны результатами работы. Называю сотрудников, которые справились с заданием:

а) итоги самостоятельной работы
б) оценка ответов

Конечно же, научный совет поручает вам решить задачу: "Тело движется по закону S(t) = 6t2 – t3. определите наибольшую скорость тела (исследуйте на экстремум)".

Спасибо всем за работу!