C простейшими иррациональными уравнениями я знакомлю учащихся в 8 классе после изучения темы “Квадратные корни. Арифметический квадратный корень” (п. 11). Затем на протяжении всего школьного курса продолжаю решать с учащимися эти уравнения, постепенно добавляя новые типы уравнений после изучения соответствующего материала в учебнике. Отдельных уроков на изучение иррациональных уравнений я не выделяю. Отработка навыков решения идёт:
а) в устных упражнениях, где, в основном повторяется алгоритм решения уже знакомых уравнений;
б) в письменных заданиях в классной работе;
в) в домашней работе.
При выполнении письменных упражнений обычно одно иррациональное уравнение решаю у доски я, затем одно уравнение – вызываю решить кого-нибудь из учащихся, аналогичное уравнение подбираю для задания на дом.
Такая работа проводится не на каждом уроке, это зависит от изучаемой темы, но всё же у учащихся постепенно вырабатывается навык решения иррациональных уравнений.
Итак, первое знакомство с иррациональными уравнениями происходит при работе по учебнику “Алгебра” (авторы Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией Теляковского), 8 класс, п. 11: “Квадратные корни. Арифметический квадратный корень”.
На первом уроке рассматривается весь теоретический материал, решаются упражнения типа №№ 287,288,289,291,293.
На втором уроке, при повторении теоретического
материала, опять обращается внимание на тот факт,
что равенство 
= в является верным, если выполняется
два условия:
1) в >= 0 ; 2) в2 = а ;
и на тот факт, что при любом а, при котором
выражение имеет смысл, верно равенство: () 2 =
а. Желательно на доске оставить такую запись:
= в.
|
|
( а >= 0. |
)2 = а,Ещё лучше – вывесить эти формулы на стенде: “К уроку математики ”.
Решаются упражнения: №№ 295, 296, 297, 300, 301.
Решение упражнений №№ 300,301 (фрагмент урока):
№ 300
а): “При каком значении переменной верно
равенство: 
= 11?”.
Решение: (используем определение арифметического квадратного корня)
= 11,
если:
- 11 > 0,
- 112 = х,
х = 121.
Ответ: 121.
п. б), в), г) учащиеся решают у доски.
п. д), е) ученики решают каждый самостоятельно с последующей проверкой.
б) 10 =
3,
= 
,
1) >
0,
2) х = ()2 ,
х = 0, 09.
Ответ: х = 0, 09.
в) = -20,
1) – 20 < 0,
Ответ: нет решений.
г) 2 -
1 = 0,
2 = 1,
= 
,
1) > 0,
2) х = ()2,
х = 
.
Ответ: х = .
д) 5- =
0,
= 5,
1) 5 > 0,
2) х = 52,
х = 25.
Ответ: х = 25.
е) 2 +
= 0,
= -2.
1) -2< 0
Ответ: нет решений.
№ 301. Найдите значение переменной, при котором верно равенство:
а) 
=
7.
1) 7 > 0,
2) 3 + 5х = 7 2,
5х = 46 ,
х = 46:5,
х = 9,2.
Ответ: х = 9,2.
б) 
= 0.
1) 0 = 0,
2) 
х
- 
= 0,
х
= ,
х = 1,5.
Ответ: х = 1,5.
В данных уравнениях переменная стоит под знаком корня. Такие уравнения называются иррациональными (записываем определение в тетрадь). Далее (устно) учащиеся выбирают из записанных на доске уравнений иррациональные:
| а) 2х + 1 = 10. | г) = 3. |
| б) | х | = 5. | д)  · (х – 1) = 15. |
| в) 20: (х + 4) = 5. |
Ответ: пункт г) т. к. только здесь переменная содержится под знаком корня.
Домашнее задание: №№ 298,299,301 б),458 (а,г,д).
На последующих уроках в устных упражнениях можно решить следующие задания:
1) Показать, что число 7 является корнем уравнения:
 а)  =2 , |
( =  = 2). |
б)  = 6 , |
( =  = 6). |
в)  = 3 , |
( =  = 3). |
2) Решить уравнение:
| а) = 3 |
(х = 9). |
| б) = 7 |
(х = 72 = 49). |
в)  = 0 |
(2х – 1 = 0, х = ). |
г)  = 0 |
(3х + 2 = 0, х = - ). |
д)  = 4 |
(- х = 16, х = - 16). |
е)  = 2 |
1) 2 > 0 2) х + 1 = 2 2 , х = 3. |
ж)  = 3 |
2) 3 > 0 2) х – 1 = 3 2 , х – 1 = 9 , х = 10. |
з)  = а |
3) если а < 0 , нет решений; |
2) если а = 0 , х = 0;
3) если а > 0 , х = а 2.
На дом можно добавлять к основному заданию
уравнения типа: 
= 4; 
= 3.
После изучения темы “Уравнение х 2 = а ” (п.12) даю для решения такое уравнение:
= 5.
1) 5 > 0;
2) 74 – х 2 = 5 2, 74 – х 2 = 25, х 2 = 49, х = ± 7. Ответ: - 7 ; + 7.
На дом уравнение: 
= 9.
1) 9 > 0;
2) х 2 + 17 = 9 2, х 2 + 17 = 81, х 2 = 64, х = ± 8. Ответ: х = ± 8.
В п. 16 “Квадратный корень из степени”
рассматривается формула: 
= | х |.
На втором уроке после работы с данной формулой можно предложить следующие уравнения:
| 1) = 3, |
2)  = - 5, |
3)  = 1, |
|
| | х | = 3, | | у | = - 5. | | 2х + 3 | = 1, | |
| х = 3, х = - 3. | нет решения. | 2х + 3 = 1, | или 2х + 3 = - 1, |
| Ответ: - 3; 3. | 2х = - 2, | 2х = - 4, | |
| х = - 1. | х = - 2. |
Ответ: - 1; - 2.
4) 
=
10,
= 10,
| х - 6 | = 10,
х – 6 = 10, или х – 6 = - 10,
х = 16. х = - 4.
Ответ: 16; - 4.
К основному домашнему заданию добавляю уравнения :
= 9; = - 8; 
= 0;
= 5 ; 
= 6.
Затем в 8 классе изучается тема “Решение квадратных уравнений по формуле”. В конце изучения темы я всегда предлагаю решить такие иррациональные уравнения:
а) = х – 5.
Выражение х – 5 не может быть отрицательным:
х – 5 >= 0.
Но решать неравенства мы ещё не умеем. Будем поступать так: решим уравнение и сделаем проверку.
= х – 5, [ 1
]
х + 1 = (х – 5) 2,
х + 1 = х 2 – 10х + 25,
х 2 – 11х + 24 = 0,
Д = 121- 4 · 24 = 121 - 96 = 25,
х 1,2 = 
,
х 1 = 8, х 2 = 3.
1) х = 8,
Проверка:
= х – 5,
= 8 –
5,
3 = 3 - равенство верное,
х = 8 является корнем уравнения.
2) х = 3,
= х
– 5,
= 3 –
5,
= - 2,
2= - 2 - равенство не верное,
х = 3 не является корнем уравнения.
Ответ: х = 8.
Как решить это уравнение – показываю у доски я сама.
б) 3 + 
= х - решает у доски ученик. [ 1 ]
Уравнения:
= х.
(Ответ: 2) [ 2 ]
х +
.
(Ответ: 3) [ 1 ]
задаются на дом.
Из дополнительных упражнений можно решить № 458 (б,в),№ 459.
№ 458. Решить уравнение:
б)  . |
(Ответ:  ), |
в)  . |
(Ответ:  ). |
№ 459. Решить уравнение: 
.
1) 2 > 0, 
, 
.
2) 3 > 0, 
, 
, 
.
3) 7 > 0, х = 7 2 , х = 49.
Проверка:
, 
,
-
равенство верно.
Ответ: 49.
В конце 8 класса изучается тема “Неравенства”.
Можно дать такой способ решения иррациональных уравнений:
= х
– 2. [ 1 ]
1) х - 2 >= 0,
х >= 2,
2) 2х - 1 = (х - 2) 2.
2х - 1 = х 2 - 4х + 4,
х 2 - 6х + 5 = 0,
Д 1 = 9 – 1 · 5 = 4,
х 1,2 = 
, х 1 = 5, х 2 = 1.
3) 
4) 
С помощью проверки решаем уравнения:
= 
, 
= 
, 
= 
[ 1 ] ,
воспользовавшись формулой: (
)2 = а,
если а >= 0, т.е. левую и правую часть
уравнения возводим в квадрат и проверяем, не
появились ли постороние корни, подставляя
найденное значение в исходное уравнение.
В 9 классе совершенствуются навыки решения иррациональных уравнений. В № 11 (п.1 , Алгебра 9 под редакцией С.А. Теляковского) выполняем задание: “Найти область определения функции”:
в) у = 
, (9 + х >= 0, х >= - 9).
Так как у учащихся появляются навыки
нахождения области определения функции вида: у =
; у
= 
и
т.п., то можно предложить учащимся следующие
задания:
1) Решить уравнение:
(х2 – 9) ·  = 0, |
||
| х2 – 9 = 0, | или | = 0, |
| х = ± 3. | 2 – х = 0, | |
| х = 2. |
Так обычно многие учащиеся и записывают ответ: х = ± 3, х = 2.
Обращаю внимание:
1) делать проверку;
2) вместо проверки найти те значения х,
которые можно подставлять в выражение
.2 – х >= 0, х <= 2.
Данному условию удовлетворяют корни: х = - 3 ; х = 2.
На дом: (х – 5) (х + 2) 
= 0. [ 2 ]
Ответ: х = 7.
2). Предлагаю учащимся подумать, почему данные уравнения не имеет корней:
а) =
-8, (- 8 < 0).
б) 
=
12, (-2 · х2 <= 0).
в) 
+ 
= -3,
При х >= 3 сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.
г) 
.
1) х – 6 >= 0, если х >= 6,
2) 4 – х >= 0, если х <= 4,
3) 
В 9 классе в п. 11 “Уравнения, приводимые к квадратным ” рассматривается решение уравнений, используя введение новой переменной. Когда учащиеся освоят данный способ, предлагаю решить несколько уравнений [ 3 ]:
1) х 2 – 24 – 2 
1 способ. Пусть х 2 – 24 = у, тогда
данное уравнение имеет вид: у - 
Эту замену учащиеся “видят ” без помощи учителя.
2 способ. Он более рациональный, я обязательно показываю его школьникам.
Пусть 
, тогда (
, х 2 – 24 = а 2
Данное уравнение имеет вид:
а 2 – 2а = 15,
а 2 – 2а – 15 = 0,
а 1 = 5 , а 2 = - 3,
 , |
значит:  |
или  , |
| х 2 – 24 = 25, | - 3 < 0, | |
| х 2 = 49, | нет решений. | |
| х = ± 7, | ||
| Ответ: - 7; 7. |
Конечно, введя новую переменную , можно
было указать, что а >= 0, тогда значение а =
- 3 сразу же “отбрасываем”.
Аналогично решаются уравнения:
2) х 2 + 13 - 2
. (Ответ: х = ± 6).
3) 41 – х 2 - 2
. (Ответ: х = ± 4).
4) х 2 + 11 + 
. (Ответ: х = ± 5).
В 9 классе я продолжаю учить ребят работе с тестами. В них включаю следующее задание. [ 4 ]
Вычислить: х 3 +2х, где х –
корень уравнения 3 + 
.
Ответ: 1) 4, 2) 0, 3) - 2, 4) - 5, 5) - 3.
Решение: 
, х = - 1, х 3 + 2х = - 3.
Ответ указан в пункте 5).
Так же в 9 классе даю решить несколько уравнений, содержащих два радикала:
- 
= 0.
(Ответ: 6).
= 2 + 
. (Ответ:
7).
.
(Ответ: 4).
- = 1. (Нет
решений).
К концу девятилетнего обучения в школе у учащихся уже сформированы начальные навыки решения иррациональных уравнений. В 10 классе их остаётся развить и углубить, решая по учебнику уравнения из раздела “Повторение”.
В 11 классе появляется больше времени на решение нестандартных иррациональных уравнений, а так же на решение иррациональных неравенств, не входящих в школьный курс, но постоянно встречающихся на выпускных и вступительных экзаменах.
Литература:
- Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов под редакцией Колмогорова А.Н. М.: Просвещение. 1994.
- Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и другие. Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение. 1991.
- Нестеренко Ю.Д., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике. М.:Наука,1986.
- Хлебников В.А.,Клюева О.В., Поляков М.А. Тесты по математике. Варианты и ответы централизованного тестирования 1996 года. М. 1996.