Тема “комплексные числа” традиционно считается сложной для изучения. Завершая проходящую через весь школьный курс линию последовательного расширения числовых множеств, она связана и с другим не менее важным разделом – решение уравнений – и вместе с тем даёт возможность установления теснейших связей с геометрией. Богатое идейное и логическое содержание этой темы реализуется в задачах сравнительно высокого технического уровня.
Урок-семинар является последним завершающим в изучении темы “комплексные числа”.
Цели урока
- Применение знаний, полученных в ходе изучения темы “Комплексные числа” при решении нестандартных задач.
- Развитие познавательного интереса через привлечение исторического материала и прикладных задач.
- Систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме “Комплексные числа” через разбор различных методов задач.
- Активизация мыслительной деятельности учащихся.
ПЛАН УРОКА
1. Историческая справка
2. Работа по группам
Формируются несколько групп по 3-4 человека в каждой. Им задаются задания, подобранные таким образом, чтобы привлекался материал из различных разделов математики: условие равноудалённости точки от любых точек плоскости, определение модуля комплексного числа, уравнение окружности (задача №1); использование теоремы Виета для многочлена второй степени, изображение комплексных чисел на комплексной плоскости (задача №2); задание с параметром и определение аргумента комплексного числа (задача №3); использование формулы Муавра для возведения комплексного числа в n-ю степень (задача №4).
3. Выступление учащихся с задачами повышенной сложности (3 чел.)
Задачи предложены из экзаменационных работ.
4. Работа по группам
В каждой группе по 2 учащихся.
Для учащихся предоставляются семь задач. Цель которых одна - изобразить на комплексной плоскости все такие числа z, которые удовлетворяют различным заданным условиям. Здесь учащиеся должны упростить заданное выражение, получить либо уравнение, либо неравенство. Затем построить графики и найти нужный на доске. В это время на доске находятся все графики. Все графики различны. Они такие как: парабола, окружность, гипербола, круг, прямая , часть “кольца” и полуплоскость. Каждой задаче соответствует буква. В результате учащиеся должны получить определённое слово. (Это слово – отлично).
- Учителем приводится задача по физике, в которой можно использовать теорию комплексных чисел.
- В конце семинара проводится самостоятельная
работа.
Самостоятельная работа состоит из шести задач. Эти задачи составлены по возрастанию степени сложности. Ученикам необходимо набрать нужное количество баллов, чтобы получить “5”, “4” или “3”. - Подводится итог урока, сообщаются оценки учащимся.
Ход урока
1. Историческая справка
Если говорить об эволюции понятия числа, надо сказать, что не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственно практические потребности людей, в узком смысле этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений.
Уже в VII в.н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9.
В XVI веке в связи с изучением кубических
уравнений оказалось необходимым извлекать
квадратные корни из отрицательных чисел. Первым
учёным, предложившим ввести числа новой природы,
был Джорж Кордано. Он предложил 
·=
a. Кордано назвал такие величины “чисто
отрицательными” или даже “софистически
отрицательными”, считая их бесполезными и
стремился не применять их.
И всё-таки пришлось допустить такие корни в науку, когда другой итальянский учёный Бомбелли в 1572 году выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
Название “мнимые числа” ввёл в 1637году
французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777
году один из крупнейших математиков XVIII века – Л.
Эйлер предложил использовать первую букву
французского слова imaginare (мнимый) для обозначения
числа 
(мнимой
единицы); этот символ вошёл во всеобщее
употребление.
В течение XVIII века продолжалось осуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.
Постепенно развилась техника операций над
комплексными числами. На рубеже XVII-XVIIIв.в. была
построена общая теория корней n-й степени сначала
из отрицательных, а потом из любых комплексных
чисел, основанная на следующей формуле
английского математика А. Муавра: 
=
.
В конце XVIII-начале XIX в.было получено
геометрическое истолкование комплексных чисел.
Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс
независимо друг от друга предложили изображать
комплексное число 
точкой М(а,в) на координатной плоскости.
Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать
число не самой точкой, а вектором 
, идущим в эту точку из начала
координат.
В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полёт ракет и самолётов. Они применяются при вычерчивании географических карт, и многих других науках.
Работа по группам.
I. Множество Е состоит из всех комплексных чисел
z, таких, что, 
.
Найдите все такие числа zо, что для любых z1
и z2 из Е 
Решение.
9х2+9у2 = (х+4)2 + (у-8)2
9х2 – х2 – 8х – 16 + 9у2 – у2 + 16у – 64 =0
8х2 – 8х – 16 + 8у2 + 16у – 64 =0
х2 – х – 2 + у2 + 2у – 8 =0
(х – 0,5)2 + (у + 1)2 = 11,25
Окружность с центром (0,5; -1)
Ответ: zо = 0,5 – i
II. Пусть Р(z) – многочлен второй степени. Известно, что его корнями являются числа -1 и i, а Р(0) = 2. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел, таких, что P(z) – действительное число.
Решение.
Заменим многочлен второй степени в общем виде на b.
P(z) = az2 +bz + c.
Т.к -1 и i – корни, то по теореме Виета
P(z) = a(z2 + (1-i)z – i)
z = x + yi
т. к P(o) = 2, то
P(0) = а(0+ 0 – i)
а( – i) = 2
; a = 2i
Тогда имеем
b = 2i + 2
; c = – 2i2 ;
с = 2
P(z)= P(x + yi)= 2i(x + yi)2 + (2i + 2)(x + yi) + 2=
= 2i(x2 +2xyi + y2i2) + 2xi + 2x + 2yi2 + 2yi + 2=
= 2x2i + 4xyi2 – 2y2i + 2xy + 4x + 2yi2 + 4yi +2=
= (– 4xy + 2x + 2 – 2y) + (2x2 – 2y2 + 2x + 2y)i
Т.к. по условию P(x + yi) – действительное число, то
x2 – y2 + x + y = 0
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0
(x + y)(x – y + 1) = 0
Две прямые
III. Среди всех комплексных чисел z, таких, что 
, есть ровно одно
число, аргумент которого равен 
. Найдите это число.
Решение.
Т.к. аргумент равен , то его действительная и мнимая части
противоположны. Причём действительная часть со
знаком “-”, а мнимая “+”, тогда z = – x +xi, x > 0
(2 – x)2 + (x – 3)2 = a2
4 – 4x + x2 + x2 – 6x + 9 = a2
2(x – 2,5)2 – 12,5 + 13 = а2
2(x – 2,5)2 = а2 – 0,5
(x – 2,5)2 = 0,5(а2 – 0,5)
По условию ровно одно число удовлетворяет
этому соотношению. Значит, уравнение должно
иметь кратный корень, что возможно только лишь
при 
(а –
число неотрицательное).
x = 5/2 = 2,5
Ответ: z = – 2,5 + 2,5i
IV. Пусть 
.
Найдите модуль и один из аргументов числа 
Решение.
Ответ: 
№1
Изобразить на комплексной плоскости чисел z, удовлетворяющие условиям и получить слово.
Решение.
z = x + yi
Парабола
№2
Пусть М – совокупность всех точек комплексной плоскости, таких что (ReU)2 + (ZnU)2 = 1. изобразить на чертеже множество всех точек вида: U = Z + i + 1
Решение.
Z= x + yi : U=x + yi + 1=(x + 1) + (y + 1)i
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 1
Окружность с
R=1, центр (-1;1)
№3
Решение.
№4
Решение
№5
Решение
Круг с центром (0;2) R=1
№6
№7
Решение
полуплоскость
Физическая задача
Найти равнодействующую двух сил в 30 Н и 40 Н, действующих на точку тела под углом 300 друг другу.
Решение
Будем считать, что точка приложения сил
совпадает с началом координат, а сила 
сонаправлена с
действительной осью. Тогда силе 
соответствует действительное
число 30, а силе 
комплексное число 
Откуда модуль равнодействующей будет
равен 
Самостоятельная работа.
1. Дано: z1= 3 + i; z2= 2i (3 б.)
Найдите 
Решение
Ответ: 
2. При каких 
числа 
и 
будут равными?
Решение
z = y – 3 + x2i – 2i = (y – 3) + (x2 – 2)
Для того, чтобы числа были равными необходимо решить систему:
Ответ: (1;4) и (-1;4)
3. Представить число в тригонометрической форме
а) 
(4 б)
Решение
б)
(5 б)
Решение
4. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющие корни х1= – 1; х2= 3+4i (5 б).
Решение
x1= -1; x2=3+4i; x3=3 – 4i
(x+1)(x – 3 – 4i)(x – 3+4i) = 0
Ответ: х3 – 5х2 + 19х + 25 = 0
5. Решить уравнение на множестве комплексных чисел 10х4 + 39х3 + 49х2 + 39х + 10 = 0 (6 б).
Решение
1) 
2)
Ответ: 
6. Найти все действительные значения а, при которых уравнение имеет только комплексные корни
(a – 3)z4 – 2(3a – 4)z2 + 7a + 6 = 0 (10 б)
Решение
Заменим z2 = t
Получим уравнение (a – 3)t2 – 2(3a – 4)t + 7a + 6 = 0
Таким образом, это уравнение имеет два действительных корня t1, t2. Для того, чтобы у исходного уравнения корни были комплексными, необходимо, чтобы t1, t2 были отрицательными.
По теореме Виета, если t1 и t2 – отрицательные, то
Ответ: решений нет.
Ученик, который набрал 16 баллов – “5”
(15 – 13) баллов – “4”
(12 – 10) баллов – “3”
Те задачи, которые ученики не успеют решить в классе, задаются на дом.