Решение логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Цели урока:

  • продолжить работу по изучению способов решения логарифмических уравнений и способствовать развитию навыка их решения;
  • закрепить умение строить графики логарифмических функций.

ХОД УРОКА

  1. Проверка домашнего задания
  1. Ответить на вопросы учащихся.
  2. Двое учащихся работают на доске:
    1. Доказать формулу
    2. Доказать формулу loga b = loga bn

Решение.

  1. Устные упражнения

Решите уравнения:

Ответ: а) 2, n – целое число; б) (- 1) + , n – целое число.

  1. Объяснение нового материала

На прошлом уроке мы рассматривали логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения. Мы продолжим работать с логарифмическими уравнениями, но решаемыми потенцированием.

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию, т. е. нахождение выражения по его логарифму.

Используем формулы

log a xy = log a x + log a y и log a x/y = log a x - log a y
при а > 0, a 1, x > 0, y > 0.

  1. Упростите:

    2. а) log 2 x + log 2 y - 2log 2 z;
    б) log 5 3 - log 5 16 + log 5 a - log 5 b.

  2. Решите уравнения:

а) lg (x2 – 6x + 9) – lg (x + 3) = lg 3

Решение.

Ответ: x1 = 0; x2 = 9.

б) log 4 (x + 2) + log 4 (10 - x) = 2 + log 4 x

Решение.

log 4 (x + 2) + log 4 (10 - x) = 2 + log 4 x;
log 4 (x + 2) + log 4 (10 - x) = log 4 16 + log 4 x;
log 4 ((x + 2) · (10 - x)) = log 4 16x;
(x + 2) · (10 - x) = 16х;
х1 = 2 или х2 = -10.

Проверка.

  1. Если х = 2, то log 4 (2 + 2) + log 4 (10 - 2) = 2 + log 4 2;

    2. log 4 4 + log 4 8 = 2 + log 4 2;
    2 = 2 – верное.

  2. Если х = - 10, то log 4 (-10 + 2) – не имеет смысла.
    Ответ: х = 2.

в) lg (x2 – 6x + 9) – 2 lg (x – 7) = lg 9

Решение.

lg (x2 – 6x + 9) – 2 lg (x – 7) = lg 9

Это уравнение определенно только для тех значений х, при которых выполняются неравенства x2 – 6x + 9 > 0 и x – 7 > 0.

Проверка.

Если х = 9, то x2 – 6x + 9 > 0 и x – 7 > 0.

Число х = 6 не удовлетворяет неравенству x – 7 > 0.

Ответ: х = 9.

г) log 0,2 4x + log 5 (х2 + 75) = 1

Решение.

Приведем логарифмы к одному основанию:

- log 5 4x + log 5 (х2 + 75) = 1;

log 5 (х2 + 75) = log 5 5 + log 5 4x;

log 5 (х2 + 75) = log 5 20x;

х2 + 75 = 20х;

х2 - 20х + 75 = 0;

х1 = 5 или х2 = 15.

Проверка подтверждает, что значения х1 = 5 и х2 = 15 – корни данного уравнения.

Ответ: 5; 15.

д) Самостоятельно решить № 518 (б), 519(а).

  1. Построение графиков логарифмических функций
    2.

Постройте графики функций:

  1. y = log 2 (x – 2).

    2. Решение.

    D (y) = (2; + ?), т.к. х – 2 > 0, х > 2.

    Построили график функции y = log 2 (x – 2) с помощью параллельного переноса графика функции y = log 2 x вдоль оси ОХ на 2 единицы вправо.

  2. y = log 2|x – 2|.

    3. Решение.
    ОДЗ: х 2

    Искомый график получается путем параллельного переноса графика функции y = log 2 |x| на вектор а (2; 0). А для построения графика функции y = log 2 |x| строим график функции y = log 2 x при х > 0 и отобразим его симметрично относительно оси ОУ.

  3. у = 2 log2 sin x
  4. y = sin x, где sin x > 0

  1. Итоги урока
  2. Домашнее задание

 

  1. Схематически постройте график данной функции:

    2. а) y = log 5 х
    Как изменяется у при возрастании х от 1/5 до 25?

    б) y = log 1/3 х

    Как изменяется у, когда х возрастает от 1/3 до 27?

  2. Решите уравнения:

а) log1/4 (x2 + 6х) = - 2 ;

б) lg 5 – lg (x – 3) = 1 - 1/2 lg (3x – 1);

в) log 3 (x + 5) - log 3 (3x + 25) = log 3 (x - 15) - log 3 17;

г) log 3 (3 x2 – 13х + 28 + 2/9) = -1.

Задание к самостоятельной работе, которую можно провести на следующем уроке:

I Вариант.

  1. Схематически постройте график функции y = log 4 х. Как изменяется у при убывании х от 16 до 1/4?
  2. Решите уравнение:

а) log 3 (x2 + 2х - 7) = 0;
б) log 3 (x + 1) + log 3 (2x - 1) = 1 + log 3 (5 – х);
в) log 4 (4 - x) = 0,5 log 4 (2x + 16);
г) log 2 - log 2 1/х = 3.

Дополнительно. Постройте график функции y = log 0,5 1/х3 + log 0,5 х2.

II Вариант.

  1. Схематически постройте график функции y = log 0,2 х. Как изменяется у при убывании х от 25 до 0,2?
  2. Решите уравнение:

а) log 2 (x2 - 5х + 6) = 1;
б) log 2 (x + 1) + log 2 (2x + 4) = 1 - log 2 (х + 5);
в) 0,5 log 3 (2хІ + 1) = log 3 (2x - 1);
г) log 5 + log 5 (253/х) = 2.

Дополнительно. Постройте график функции y = 6 log 2 + log 2 1/х.