Система тренажеров по теме "Двугранные углы"

Одной из основных тем в стереометрии является тема “Двугранные углы”. Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся усваивают легко, возникает много затруднений при решении стереометрических задач. Анализ этих затруднений показал, что это связано с недостаточной сформированностью навыка изображения линейных углов. Чтобы преодолеть эти проблемы, необходима определенная система задач.

Предлагаемые задачи разбиты на четыре группы (тренажеры).

Тренажер №1. включает в себя задачи на доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным.

Тренажер №2. Это задачи на выделение линейного угла среди нескольких обозначенных на рисунке углов.

Тренажер №3. Это задачи на построение линейного угла данного двугранного угла.

Тренажер №4. Это задачи вычислительного характера.

Обычно такие задачи решаются по готовым рисункам на листах формата А4. На этих же листах записаны и тексты задач к данным рисункам. Листы с задачами вложены в мультифоры, что позволяет их многократно использовать как для индивидуального опроса учащихся, так и на подготовительном этапе при решении более сложных задач.

В процессе решения этих задач у учащихся не только формируются навыки построения линейных углов данных двугранных углов, но и идет повторение различных понятий, приемов решения прямоугольных треугольников, вычисления площадей, правила изображения фигур на рисунке.

1. SABCD - пирамида, прямая SB перпендикулярна плоскости АВС, ВР DС (лист 1). Доказать, что угол SРВ - линейный угол двугранного угла с ребром СD.

2. SABC - пирамида, АСВ=90⁰, прямая SB перпендикулярна плоскости АВС (лист 2). Доказать, что угол SСВ - линейный угол двугранного угла с ребром АС.

3. SABC - пирамида, АВ=ВС, D - середина отрезка АС, прямая SB перпендикулярна плоскости АВС (лист 3). Доказать, что угол SDВ - линейный угол двугранного угла с ребром AС.

1. SABC - пирамида, основание которой - правильный треугольник. Какой из отмеченных углов является линейным углом двугранного угла с ребром AС, если:

а) Е - середина отрезка АС (лист 4), прямая SB перпендикулярна плоскости АВС;
б) К - середина отрезка АС (лист 5), ON//BK и прямая SО перпендикулярна плоскости АВС?

2. SABC - пирамида, D - середина отрезка АС, прямая SB перпендикулярна плоскости АВС (лист 6). Каким должен быть треугольник АВС, чтобы линейным углом двугранного угла с ребром АС являлся угол SDB, угол SAB, угол SKB?

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде SABC:

а) АВ=ВС, прямая SB перпендикулярна плоскости АВС (лист 7);
б) грань АВС - правильный треугольник, О - точка пересечения медиан, прямая SO перпендикулярна плоскости АВС (лист 8);
в) грань АВС - правильный треугольник, О - середина отрезка АВ, прямая SO перпендикулярна плоскости АВС (лист9).

2. Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если:

а) прямая SB перпендикулярна плоскости АВС (лист 10);
б) точка О принадлежит отрезку АВ, прямая SО перпендикулярна плоскости АВС (лист 11);
в) О - точка пересечения диагоналей, прямая SО перпендикулярна плоскости АВС (лист 12).

3. Дан ромб АВСD, прямая SС перпендикулярна плоскости АВС. Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD (лист 13).

4. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD, если:

а) АВСD - трапеция, ВАD=90⁰, прямая SB перпендикулярна плоскости АВС (лист 14);
б) АВСD - трапеция, ВАD=90⁰, точка О принадлежит отрезку ВС, прямая SО перпендикулярна плоскости АВС (лист 15);
в) АВСD - равнобедренная трапеция, прямая ВS перпендикулярна плоскости АВС (лист 16);
г) АВСD - равнобедренная трапеция, прямая SС перпендикулярна плоскости АВС (лист 17).

1. Дана пирамида SАВС. Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

а) прямая ВS перпендикулярна плоскости АВС, С=90⁰, ВС=BS=6см (лист 18);
б) прямая ВS перпендикулярна плоскости АВС, АВ=ВС=10см, ВS=АС=12см. (лист 7);
в) грань АВС - правильный треугольник, АВ=6см, О - точка пересечения медиан, прямая ОS перпендикулярна плоскости АВС, ОS=4см (лист 8);
г) грань АВС - правильный треугольник, О - середина отрезка АВ, АВ=6см, прямая ОS перпендикулярна плоскости АВС, ОS=4см (лист 9).

2. АВСD - прямоугольник, ВD=4см. Прямая SВ перпендикулярна плоскости АВС, SВ=6см, двугранный угол с ребром DС равен 60⁰. Найти стороны прямоугольника (лист 10).

3. АВСD - прямоугольник, его площадь 48 см², DС=4см, прямая ОS перпендикулярна плоскости АВС, ОS=6см. Найти величину двугранного угла с ребром DС (лист 12).

4. АВСD - ромб, ВD=8см, прямая SС перпендикулярна плоскости АВС, SС=16см, двугранный угол с ребром ВD равен 45⁰ Найти площадь ромба (лист 13).

5. В параллелограмме АВСD АDC=150⁰, АD=16см, DС=12см, прямая SС перпендикулярна плоскости АВС, SС=18см (лист 19). Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь параллелограмма.