Предлагаю методическую разработку по изучению темы “Делимость целых чисел” (тематическое планирование – Приложение 8). Изучение темы происходило в игровой форме. Мы с учениками вели следствии по “Делу о делимости”. Ребята завели “настоящие следственные документы”, все записи велись на отдельных “бланках”. Проводили “следственные эксперименты” – контрольные работы, “поиск улик” – изучение нового материала; “отработка версий” – тренаж, “очная ставка” – устный опрос определений, правил, алгоритмов, “судебное заседание” – обобщающий урок по изученной теме. Проведение уроков в такой нестандартной форме принесло и мне, и всем ученикам настоящий азарт и неподдельный интерес на протяжении всего времени, отведенного на изучение книги “Дело о делимости и другие рассказы”.
День первый: “Заявление”
Сценка: Беседа Холмса и Уотсона (по тексту)
Ш.Х.: С тех пор, как мы раскрыли последнее дело, жизнь потеряла всякий интерес.
У.: Боюсь, что с вами не соглашусь; сегодня только шестой день нашего отдыха, это уже само по себе интересно.
(Холмс пожал плечами.)
Ш.Х.: Что же тут интересного?
У.: Ну как же, мистер Холмс? 6, без сомнения, интересное число. Оно совершенно!
Ш.Х.: Уотсон, почему оно совершенно?
У.: Да потому, что оно равно сумме своих делителей (Пишет на доске) 6 + 1 + 2 + 3.
Ш.Х.: Думаю, что есть и другие совершенные числа.
У.: Разумеется. Всякое число, равное сумме своих натуральных делителей называется совершенным.
Ш.Х.: Откуда вы это знаете, Уотсон?
У.: О, так говорил ещё Евклид! При этом он имел в виду только те делители числа, которые самому числу не равны.
Ш.Х.: Евклид? Кто это? И что такое делитель числа?
У.: Не знаете? Ну, так слушайте!
(Ш.Х. удобно устраивается в кресле, и тут раздается стук в дверь. Входит молодая дама приятной наружности.)
М.: Простите меня, мистер Холмс, я совсем потеряла голову. Но если вы помните, что на множестве целых чисел всегда выполнимы арифметические операции сложения и умножения, то вам не трудно догадаться, зачем я к вам пришла. Прошу вас, начните расследование дела о делимость чисел. Ради всего святого!
Ш.Х.: Случай, возможно, интересный! (Пауза). Позвольте поправить вас, мисс, рассказать все по порядку. Прежде всего, – ваше имя, место жительства, род занятий.
М.: Меня зовут мисс – Мультиплик – младшая, живу я на множестве целых чисел, служу там же. Работа моя в том, что я умножаю… если нужно, могу умножить любое число на любое, хоть маленькое, хоть большое. Лишь бы оно было целым.
У.: Постойте, постойте, мы уже знакомы с некоей мисс Мультиплик, когда расследовали “Дело о втором пятне”. Помните, Холмс
Ш.Х.: Да, тогда умножали 2,35 на 4,5 (удивленно) Но это были не вы мисс!
М.: Ну, конечно же, не я. Вы ведь говорите об умножении десятичных дробей, а я занимаюсь только целыми числами. Это моя сестра – Мультиплик – средняя.
Ш.Х.: Значит, есть еще Мультиплик – старшая? Я так и предполагал.
М.: Вы совершенно правы. Она тоже умножает, но такое? … Я и выговорить не могу (поднимает табличку 7/9 . 10).
Ш.Х.: Мда... Интереснейшее дело, я чувствую это. И я берусь за это дело. Нет, нет, не благодарите меня. Продолжайте ваш рассказ. Доктор Уотсон, записывайте информацию. Думаю, нам это пригодится. Мисс Мультиплик, есть ли у вас другие родственники, кроме сестер?
М.: Родственников – куча! Но близкие отношения поддерживаю лишь с тремя. Они тоже служат на множестве целых чисел и являются младшими в своих семьях. Это миссис Аддитив, мистер Дифференц и мистер Дивизион. (Вешает на доску таблички с именами) Миссис Аддитив занимается сложением, мистер Дифференц – вычитанием, а мистер Дивизион – делением.
Ш.Х.: Ясно! А суть вашей работы?
М.: Я связана глубокими родственными узами с Аддитив, т.к. заменяю сложение одинаковых чисел умножением. Правда, я усовершенствовала случаи суммирования (показывает на доске)
2 + 2 + 2 + 2 = 2 . 4
3 + 3 = 3 . 2.
2 + 2 + 2 + 2 +… (35 раз) = 2 . 35 = 30 . 2 + 5 .
2 = 60 + 10 = 70.
Поверьте, мистер Холмс, мистер Уотсон, я выполняю свою работу с большим удовольствием. С мисс Аддитив мы живем, душа в душу. Все шло очень хорошо до тех пор, пока не обнаружилось…
Ш.Х.: Что же обнаружилось? Что нарушило мир и покой на множестве целых чисел?
М.: Мы с миссис Аддитив отвечаем за прямые операции – сложение и умножение, здесь мы с ней равноправны. За обратные операции отвечают мистер Дифференц и мистер Дивизион. Мистер Дифференц всегда обеспечивает для Аддитив обратную операцию, а вот мистер Дивизион проявляет неравноправие по отношению к моей операции.
Ш.Х. Ну вот мы и добрались до главного, уважаемый доктор Уотсон.
У.: Так вы, Холмс, знаете, в чем дело?
Ш.Х.: Ну, разумеется, друг мой!
М.: Миссис Аддитив повезло, её обратная операция выполняется всегда, а вот моя – нет. Здесь творится что-то непонятное. Помогите мне!
(Ш.Х. встает со стула, потирает руки)
Ш.Х.: Ну что ж, беремся за дело о делимости. Но нам нужны помощники, много помощников. (Обращаясь к ученикам) Друзья мои! Вы хотите стать моими помощниками – следователями? (Дети отвечают: “да”) Уотсон! Раздайте моим юным коллегам материалы дела (раздает учебники).
Учитель: Ребята! Поможем несчастной мисс Мультиплик в её беде. Теперь мы младшие следователи. Будем вести дело. Нам понадобиться папка для дела. Записи будем вести на отдельных листах. Это будут протоколы (бесед, допросов, опознаний, очных ставок, следственных экспериментов и т.д.). Желающие могут работать в рабочих тетрадях. Итак, выясним, что мы имеем и что нам нужно:1) заявление мисс Мультиплик; 2) делитель числа ( работа с книгой).
Домашнее задание: читать с. 4–14. С. 14–17 устно № 3, № 6, № 7, № 9. Письменно № 8, № 112.
День второй “ Поиск улик”
Цели работы: сформулировать понятия:
- Делитель числа
- Признаки делимости
- Формула четного и нечетного числа
- Формула кратных чисел
Ход работы:
1. Проверка домашнего задания.
2. “Продолжаем следствие”.
а) Что такое делители числа? А какие делители бывают?
5/1; 5
6/1;2;3;6
13/1;13 и т.д.Тривиальные делители числа, имеющие тривиальные делимые, называются простыми.
б) Работа с таблицей умножения: выход на “портрет” четного и нечетного числа. Кратные числа.
в) Первые признаки делимости на 2, 5, 1, 100
3. Отработка навыка – “отработка версии” с. 30.
“Улики” – записи в тетрадях:
- тривиальные делители
- простые числа, составные числа
- признаки делимости
- четные числа: 2n, где n
N; нечетные числа: 2n – 1 или 2n + 1, где n
- кратные числа: 2m, 3m, 5m, 11m m = + 1, + 2
Домашнее задание: с. 30-33 № 6
День третий “Отработка версий”
Цели работы:
- научиться распознавать кратные числа (работа с формулой кратного числа, четного и нечетного), делители числа;
- научиться составлять числа, кратные данным, находить делители заданного числа.
Ход работы:
- “Поиск улик”– определение понятий (устный опрос)
- “Отработка версий” – выполнение упражнений,
а) кратность чисел;
б) признаки делимости на 2, 5, 10;
в) четные и нечетные числа, кратные числа
работа с учебником с. 30–34. № 1–3 письменно № 4, 5, 7, 8 – устно.
Домашнее задание: с.35 подготовиться к контролю № 12, 14, 18.
День четвертый “Поиск улик”
Цели работы:
- проверить теоретические знания учащихся по изученным вопросам
- изучить признак делимости произведения
Ход работы:
- “Очная ставка” (диктант выполняется по вариантам)
- Что такое простое число? Пример.
- Какое число называется четным? Нечетным? Примеры
- Напишите формулу числа, кратного 7 (9) запишите по три кратных числа
- Даны цифры 2, 0, 1, 9 (6, 3, 0, 1) составьте по три трехзначных числа, делящихся а) на 2; б) на 5; и) на 2 и 5
- “Поиск улик” (о делимости произведения) – обсуждение прочитанного (с. 36-42)
а) Итог: число вида
**0: 10, 5, 2
**00 : 100, 10, 5, 2,
**000 : 1000; 100; 10; 5; 2б) как доказать? (Только опытным путем)
- как узнать, что число делится на 2, 5 .. (по формуле кратного числа), значит, число нужно представить в виде произведения
пример: 220 = 2 . 110 = 22 . 0 = –22 . 5 . 2 = 11 . 4 . 5 (вывод: делимость произведения)
Домашнее задание: читать главу 3 с. 36. Письменно с. 43 № 1–4
День пятый: “ Отработка версий”
Цель урока: научить учащихся использовать признак делимости произведения при выполнении заданий на доказательство
Ход работы:
- Проверка знаний (правило на с. 40 и его разъяснение: 18:3, т.к. 18 = 3 . 6; 3 : 3 и 6 : 3).
- Отработка правила с примерами с. 41 (устно и письменно).
- Проверка домашнего задания (№ 4).
- Выполнение заданий № 6, № 7.
Домашнее задание: с. 44 № 8–10.
День шестой “Поиск улик”
Цели работы:
- изучить с учащимися признаки делимости суммы;
- научить использовать признаки делимости суммы при выполнении заданий .
Ход работы:
- Проверка домашнего задания (заранее приготовить на доске, на уроке прокомментировать).
- “Поиск улик” – обсуждение прочитанного в книге (с. 45–54) (разъяснения и выполнение заданий из текста, выделение правила).
Домашнее задание: с. 55 № 1
День седьмой: “Отработка версий”
Цель работы : научить учащихся использовать признаки делимости суммы для выполнения заданий.
Ход работы:
- Выполнение заданий с. 55–58 (на выбор учителя, – какие задания выполнить в классе, а какие в качестве домашнего задания).
- Итог работы – “Заметки Уотсона” с. 59.
Домашнее задание: с.59 (выучить признаки)
День восьмой и девятый: “Поиск улик”
Цели работы:
- изучить с учащимися признаки делимости на 3, на 9;
- научить учащихся использовать признаки делимости при выполнении заданий на доказательство;
- разгадать “тайну” числа 1001.
Ход работы:
- “Поиск улик”– обсуждение прочитанного в книге (с. 60–66) (разъяснения и выполнение заданий из текста, выделение правила).
- “Тайна” числа 1001 – разбор текста с. 68 .
- Выполнение заданий с.70–72 (на выбор учителя, – какие задания выполнить в классе, а какие в качестве домашнего задания).
Домашнее задание: “Заметки Уотсона” с. 67
День десятый: “Очная ставка”
Цель работы: провести контроль знаний, умений и первых навыков учащихся по теме “Признаки делимости”.
Ход работы:
- Фронтальный опрос учащихся (определения, правила, признаки).
- Выполнение задания (учащиеся работают в группах, результат – защита выполненной работы) см. Приложение 1.
Домашнее задание: просмотреть все задания на с. 73–80, разделить их на три группы: эти задачи решу сразу, над этими задачами подумаю и решу сам, эти задачи не решу без помощи.
День одиннадцатый–двенадцатый: “Отработка версий”
Цель работы: провести уроки-практикумы по решению задач с использованием признаков делимости чисел.
Ход работы:
- Выполнение заданий из книги с. 73–75 с целью подготовки к контрольной работе;=.
- Выполнение заданий из книги с.76–80 с целью развития познавательного интереса учащихся (задачи: история с покупателями, секреты фокусника, трюк клоунов, феномен памяти и др).
Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе (книга с. 35, с. 59, с. 67)
День тринадцатый: “Следственный эксперимент”
Цель работы: провести контрольную работу по теме “Признаки делимости чисел”.
Ход работы:
Контрольная работа предлагается на два варианта, проводится в течение одного урока. См. Приложение 2.
День четырнадцатый: Отработка версии “Разложение на множители”
Цели урока:
- выяснить с учащимися понятие разложение и множители;
- научить учащихся представлять число в виде простых множителей;
- ввести понятие степени.
Ход работы:
- Анализ контрольной работы (показать типичные ошибки, допущенные в работе, выполнить работу над ошибками при необходимости).
- Изучение нового материала с примерами (работа с книгой с. 81–86).
- Введение понятия “Степень” и устные упражнения (работа с книгой с. 87–89).
Домашнее задание: читать главу 6, задания № 1, № 2, № 7, № 8 с.91–94.
День пятнадцатый: Отработка версии “Разложение на множители”
Цель работы: научить учащихся раскладывать числа на простые множители и записывать это разложение
Ход работы:
- Устно прочти: 32, 65, 28, 113, 275, 82. Назвать основание и показатель.
- Упрости и прочти: 3 . 3 . 3; 2 . 2 . 2 . 2 . 2; 5 . 5; 11 . 11 . 11 . 11.
- У доски и в тетрадях: разложить числа 48, 130, 60, 660, 250, 300, 72, 256, 63, 85, 160, 108 на простые множители.
- Устно № 14, 12, 17, 18 (книга с. 94).
- “Следственный эксперимент” (Самостоятельная работа по вариантам на 5-7 мин. с взаимопроверкой).
- Разложите на простые множители данные числа:
1 вариант: 54, 420, 2464
2 вариант: 36, 320, 1232
Домашнее задание: читать главу 7, задания № 13, № 16 с. 94
День шестнадцатый: “Допрос свидетелей” по теме “Каноническое разложение. Простые и составные числа”
Цели работы:
- провести урок-семинар по прочитанной главе 7 ;
- выполнить задания к главе 7 (книга с. 115).
Ход работы:
- Обсуждение прочитанного в главе 7 о простых числах, о каноническом разложении числа.
- Выполнение заданий из книги устно № 1, 2, 7–9, 13, 14. Письменно № 11, 12, 15 с. 115–120.
Домашнее задание: читать с. 121–130. №№ 16–18 с.118–120
День семнадцатый: (к суду) “Допрос свидетелей по дополнительным материалам”
Цели работы:
- познакомить учащихся с признаками делимости в различных системах счисления;
- познакомить учащихся с некоторыми видами чисел.
Ход работы:
- Рассказ о признаках делимости в различных системах счисления (книга с. 121–125 и дополнительный материал).
- Рассказ о некоторых тайнах, которые хранят числа (книга с. 126–129).
Домашнее задание: прочитать текст книги с. 131–143.
День восемнадцатый: “Следственный эксперимент”
Цель работы: провести контроль знаний и умений учащихся по изученной теме.
Ход работы: предлагается провести домашнюю контрольную работу. См. Приложение 3
День 19-21 “Дело и НОД” (отдельное производство)
(Работа с книгой, с. 130–149)
Учащиеся читают рассказ “Дело о НОД, или пропавшая курица” самостоятельно, на первом уроке идет обсуждение прочитанного: вспоминают понятия делители числа, простые делители, взаимно-простые числа, выясняют, что такое общий делитель, наибольший общий делитель двух или нескольких чисел. Выполняют задания 1, 2, 3(а, в, ж). Задание на дом: “Заметки Уотсона”, с. 143–144, № 3(б, г, д, е), № 4. На втором и третьем уроках рассматривается алгоритм нахождения НОД двух чисел, разрешается вопрос о нахождении НОД для трех и более чисел, выполняются задания на отработку навыка нахождения НОД двух и более чисел (Задания из книги на с. 146 – 149 №№ 5 – 19, упражнения для работы в классе и дома). На третьем уроке дать домашнее задание – провести “следственный эксперимент” – выполнить домашнюю самостоятельную работу. См. Приложение 4.
День 22–24“Дело о НОК” (отдельное производство)
(Работа с книгой с. 152–168)
Учащиеся самостоятельно читают рассказ “Дело о наименьшем общем кратном, или тайна флаконов”, а на уроках происходит обсуждение прочитанного и выяснение нового понятия – наименьшее общее кратное двух или нескольких чисел, рассматривается и отрабатывается алгоритм нахождения наименьшего общего кратного двух чисел, делается перенос этого алгоритма на нахождение НОК нескольких чисел, выполняются задания из книги с.161-166 для работы в классе и дома. На контроле – “Заметки Уотсона” и домашняя самостоятельная работа. См. Приложение 5.
День двадцать пятый: Рейтинговая контрольная работа.
Цели работы:
- провести итоговую контрольную работу по материалам всей книги (работу можно провести как в классе, так и дома, так как времени одного урока будет недостаточно);
- цель ученика – набрать (за время, отведенное на данную работу) как можно больше баллов;
- Критерий оценки следует обсудить с учащимися. ( Это зависит от уровня подготовленности учеников в классе) См. Приложение 6 .
День 26–27. “Судебное заседание”
Цели работы:
- обобщить знания учащихся по теме “Делимость целых чисел”;
- провести контроль вычислительных навыков учащихся по данной теме.
Уроки проводятся в нестандартной форме: “Суд над целыми числами”
Секретарь (С-рь): Встать, суд идет! (Входят три судьи, секретарь ведет суд). Прошу садиться. Сегодня слушается дело о делимости целых чисел. С 11 января 1999 года в следственные органы поступило заявление некой мисс Мультиплик, которая просила выяснить и наказать своего родственника мистера Дивизиона за то, что он не всегда может выполнять деление нацело. Заявление было принято к производству группой следователей 6А класса. На сегодняшний день дело полностью расследовано и суду предстоит вынести заключение: виновен или невиновен мистер Дивизион, наказать или оправдать.
Главный судья (Гл. С.): Слово имеет обвинительная сторона – прокурор.
Прокурор (Пр-р.): Мистер Дивизион виноват в том, что не может обеспечить деление целых чисел нацело. Например: 43:5, 35:2, 23:11, 125:12 и т.д. (обращается к классу) Сколько получится?
Гл. С.: Слово просит защита – адвокат.
Адвокат (А.): Но мистер Дивизион невиноват, т.к.
в некоторых случаях деление целых чисел нацело
выполняется. Например, 45 : 5, 35 :
7,
23 : 23, 66 : 11. (Спрашивает ответы
у учащихся). И вообще, можно всегда выполнить
деление нацело, если знать признаки делимости
целых чисел. Требую опроса свидетелей.
Гл. С.: Приступаем к опросу свидетелей.
С-рь: вызываются свидетели, у которых есть показания по признакам делимости. (У доски отвечают учащиеся с признаками, используют доказательства, за ответ секретарь выдает жетоны)
Пр-р.: Признаки делимости дают ответ на вопрос, как узнать на какие числа делится данное число. А можно ли узнать все делители любого целого числа?
А.: Конечно, есть такой способ – это разложение на множители. Давайте опросим свидетелей.
С-рь.: Вызываются свидетели для дачи показаний по разложению на простые множители. См. Приложение 7. Задание 1
Пр-р.: Это вы рассказали о нахождении делителей для одного числа. А как найти делители для нескольких чисел?
А.: Для этого существует понятие НОД чисел. Опросите свидетелей.
С-рь.: Вызываются свидетели для дачи показаний по НОД двух или нескольких чисел. См. Приложение 7, задание 2.
Пр-р.: В ходе расследования появилось ещё одно странное слово: Какое оно? Могут свидетели ответить?
С-рь.: Вызываются свидетели, которые поняли о чем идет речь. ( См. Приложение 7, задание 3).
С-рь.: Слово прости защита.
А.: Свидетели рассказали обо всех достоинствах мистера Дивизиона, их ответы свидетельствуют о том, что операция деление выполняется всегда, нужно только знать условия для выполнения этой операции. Значит, он невиновен. Требую оправдания для мистера Дивизиона.
Пр-р.: А мне кажется, нужно ещё раз испытать способности свидетелей по умению выполнять деление целых чисел.
Гл. С.: Согласен! Секретарь раздайте задания свидетелям. (См. Приложение 7, задание 4).
С-рь.: Сдайте судьям задание. Суд удаляется для принятия решения. А материалы дела сдайте в архив. Встать, слушаем постановление.
Гл. С.: Рассмотрев все материалы “Дела о делимости чисел”, заслушав показания свидетелей о возможностях выполнения операции деление, а, также ознакомившись с дополнениями по НОД и НОК, суд постановляет:
- Считать операцию деление выполнимой на множестве целых чисел с учетом признаков делимости;
- Всем, занимающимся делением целых чисел необходимо использовать, кроме признаков делимости, способы разложения чисел на простые множители, записи канонического разложения, нахождение общих делителей и общих кратных нескольких чисел;
- Из выше сказанного следует, что мистер Дивизион невиновен, кроме того возможности мистера Дивизиона следует перенести и на изучение других математических заданий. Например, рациональные способы деления многозначных чисел, действия с обыкновенными дробями.
- Знания, полученные при расследовании “Дела о делимости”, обязательно перенести на изучение темы “Обыкновенные дроби”.
Решение суда окончательное и изменению не подлежит.
С-рь.: Все свидетели, участвующие в слушании дела и получившие жетоны, отметиться у секретаря, сдать ваши дела в архив. Суд окончен, все свободны.
После проверки выполненных заданий, сдачи жетонов выставляются итоговые оценки в журнал и объявляются ученикам.