Технология коллективного взаимообучения на уроках математики

Опр. Полные квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называют приведенными квадратными уравнениями.

Например, x²- 6x+8=0; x²+ x – 6=0.

Теорема Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема, обратная теореме Виета.

Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения xІ+px+q=0.

Формулы корней:

x_1,2=.

При b=2m ( b-четное число )

x_1,2=; x_1,2=.

1) Найдите сумму и произведение корней уравнения: a) x²- 8x+6=0; б) 2x²+ 9x - 10=0.

Решение:

а) x²- 8x+6=0 (a=1, b= -8, c=6 ).

D=64 - 4=40; D› 0, уравнение имеет корни. По теореме Виета

x₁+x₂=8;

x₁x₂=6.

Ответ: x₁+x₂=8; x₁x₂=6.

б) 2x² + 9x – 10=0 | : 2;

D=81 - 4(-10) =81+80=161; D› 0; уравнение имеет корни.

x²+4,5x -5=0. По теореме Виета

x₁+x₂= -4,5;

x₁x₂= -5.

Ответ: x₁+x₂= -4,5; x₁x₂= -5.

2) Найдите подбором корни уравнения x² -8x -20=0.

Решение:

D=64 -4(-20) =64+80=144; D › 0; 2 корня. По теореме Виета

x₁+x₂=8;

x₁x₂₌ -20.

-20=2(-10)=-210 =4(-5)=-45= 1(-20)=-120.

По теореме, обратной теореме Виета x₁= -2; x₂=10, т.к. -2+10=8; -210= -20.

Ответ: -2; 10.

3) Составьте приведенное квадратное уравнение, если известны его корни x₁=-4, x₂=2.

Решение:

x²+px+q=0. По теореме Виета

x₁+x₂= -4+2= -2;

x₁x₂₌ -42= -8; значит, p=2, q= -8.

Ответ: x²+2x -8=0.

4) Решите уравнение 5x² -16x+3=0, применяя формулу с четным коэффициентом b.

Решение:

5x² -16x+3=0 (a=5, b= -16, c=3).

D=256-4=196; D›0; 2 корня; ==49; x_1,2==;

x₁=3; x₂=0,2.

Ответ: 0,2; 3.

• Приведите свои 2 примера приведенного квадратного уравнения.
• Сформулируйте теорему Виета и обратную теорему.
• Как используется теорема Виета при решении уравнения вида ax²+bx+c=0?
• В каких случаях можно применять теорему, обратную теореме Виета

ax²+bx+c=0 (a0).

Опр. Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Виды неполных квадратных уравнений:

• b=0, c=0; ax²=0;
• b=0, c?0; ax²+c=0;
• b?0, c=0; ax²+bx=0.

Решите уравнение:

а) 2,7x²=0;

б) 4x -x² =0; в) 3x²+7=0; г) x²- =0.

Решение:

а) 2,7x²=0 |: 2,7;

б) 4x - x² =0;

x²=0; 1 корень;

x ( 4 – x ) =0;

x=0. x=0 или 4 – x=0;

Ответ: 0. x=4.

Ответ: 0; 4.

в) 3x²+7=0;

3x²=-7 |: 3;

x²=-; - ‹ 0;
нет корней.

Ответ: нет корней.

г) x²- =0;

x²=; › 0; 2 корня;

x_1,2 =± ;

x₁ =-; x₂ =.

Ответ: -, .

1. Квадратное уравнение называется неполным, если…
2. Выберите неполные квадратные уравнения: 2x²+x – 3=0; x²+49=0; 0,25y²=1; x – 9=0; 15x² - 3x=0; a²=0.
3. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение?
4. Квадратное уравнение может иметь противоположные корни, если…
5. Можно ли решить неполное квадратное уравнение с помощью формул

x _1,2 =?

ax² +bx+c=0 (a0)

а - 1-ый коэффициент (при x²),

в - 2-ый коэффициент (при x),

с - свободный член.

D=b²-4ac

( формула дискриминанта).

D>0, 2 корня;

D=0, 1 корень;

D<0, нет корней.

Формулы корней:

x_{1, 2} =.

Решить уравнение:

а) 4x²+10x-6=0;
б) x² -12x+36=0;
в) 3x+1+4x²=0.

Решение:

а) 4x² +10x-6=0 (a=4;b=10;c=-6).

D=100-4·4· (-6) =196; 2 корня;

x _{1, 2} ==;
x₁ =; x₂ =-3.

Ответ:-3; .

б) x²-12x+36=0 (a=1;b=-12;c=36).

D=144-4·1·36=144-144=0;
1 корень;

x ===6.

Ответ: 6.

в) 3x+1+4x²=0 (a=4;b=3;c=1).

D=9-4·4·1=9-16=-7; нет корней.

Ответ: нет корней.

• Уравнение вида ax²+bx+c=0 называется квадратным, если…
• Из данных уравнений выберите квадратные уравнения: x²=0; x³-x=3; 1-16x²=0; 5+8x=x; 4+9x²-12x=0; xІ-5x+3x-15=0.
• Назовите коэффициенты каждого квадратного уравнения:
  3x²-5x-2=0; 15+2x²=0; 49x-x²=0; x²=0; -x+x²-1=0.

• Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?
• Квадратное уравнение принимает вид линейного, если…

Способ решения, с помощью которого уравнение ax²+bx+c=0 приводится к виду (x – m)² =n,
где m,nR, называется выделением квадрата двучлена.

• формулы сокращенного умножения:

а²±2ав+в²=(а±в)²;

• решение уравнений вида х²=а:
1. а › 0; 2 корня; х_1,2=±;
2. а=0; 1 корень; х=0;
3. а ‹ 0; нет корней.

 

Решите уравнение:

а) x²+8x+16=0;

б) x² – 10x – 11=0;

b) 2x²+12x++40=0.

Решение:

а) x²+8x+16=0;

x²+ 24 + 4²=0;

(x + 4)² =0; 1 корень;

x + 4=0;

x = - 4.

Ответ: - 4.

б) х² – 10х – 11=0;

х² - 25 =11;

х² - 25 + 5²=11+ 5²;

(х – 5)² =11+25;

(х – 5)² =36; 36› 0;
2 корня;

х – 5 = или
х – 5 = - ;

х – 5 =6 или х – 5 = - 6;

х=11 или х= - 1.

Ответ: - 1; 11.

в) 2х²+12х+40=0 | : 2;

х²+6х+20=0;

х²+ 23= - 20;

Решите уравнение:

х²+ 23 +3²= - 20 +3²;

(х+3)²= - 20+9;

(х+3)²= - 11; - 11 ‹ 0;
нет корней.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение, выделяя квадрат двучлена:

1. х² – 14х +49=0 (смотри пример а));

2) х² – 6х +8=0 (смотри пример б)).

Квадратные уравнения.

Вариант 1.

Решите уравнение:

1. 2x – х²=0;
2. х² – 16=0;
3. 3х²+5х – 2=0;
4. х² – 3х – 1=0;
5. решите уравнение методом выделения квадратного двучлена: х² + 6х +8=0.
6. Решите уравнение:
   (2х – 4)(х – 3)=5(6 – 2х)

1. 2х²=0;
2. 5х² – 10х=0;
3. х² – 8х +7=0;
4. 9х² – 6х +1=0;
5. решите уравнение методом выделения квадратного двучлена: х² – 8х +15=0.
6. Решите уравнение:
   (3х – 1)(2х+6)=8(2х+3).

1. 7х – 2х²=0;
2. 3х² – 75=0;
3. 5х² – 11х +2=0;
4. х²+2х – 2=0;
5. решите уравнение методом выделения квадратного двучлена:
   х² + 6х – 1=0.
6. Решите уравнение:
   (3х – 1)(4х+6)=2(6х – 3).

1. 4х²=8х;
2. х² – 2=0;
3. 4х²+х – 3=0;
4. 3х² – 2х - 4=0;
5. решите уравнение методом выделения квадратного двучлена: х²–3х– 18=0.
6. Решите уравнение:
   (4х – 1)(х+4)=2(3х – 2).