Цель:
- Ввести понятие целого уравнения, степень уравнения.
- Умение определять степень уравнения, тип уравнений;
- Различные способы решения уравнений, высших степеней.
- Безошибочно находить методы решения уравнений;
- Решение уравнений, требующих предварительного упрощения с помощью формул сокращенного умножения.
Блок №1 Решить различные уравнения уже известными способами.
Цель: Закрепить знания и умения, полученные ранее.
Таблица №1 служит разминкой для дальнейшего решения уравнений более высокой степени. Следует решить два уравнения из таблицы, проверить результат, и если вы успешно справились, то перейти к следующему заданию.
ТАБЛИЦА №1
| 1. (х+5)(3х–6) = 0 2. х2– 6х = 0 3. (8х –1)2– х(64х + 1) = 12 4. (х –5)/2 + (4х–1)/3 = 1 5. 0.5х3– х2 = 0 |
Блок №2 Решить уравнения, сделав замену переменных.
Цель: Закрепить способ решения уравнений, используя замену переменных.
Пример– образец №1. Решить уравнение (х2+2х)2 – 2(х2+ 2х) = 3
Решение: Запишем равносильное данному уравнение (х2+ 2х)2 – (х2+ 2х) –3 =0, сделаем замену переменных, выражения в скобках одинаковые, поэтому можно записать:
Замена: х2 + 2х =у
Перепишем получившееся уравнение и решим его.
у2– 2у – 3= 0
Д= в2– 4ас= (–2)2– 4·1·(–3)= 16
у= 3, у= –1
Вернемся теперь к переменной х, сделаем обратную замену и решим два уравнения.
Обратная замена:
х2 +2х = 3 или х2+2х = –1
х2 +2х – 3= 0 х2 + 2х +1= 0
Д= 16 Д=0, 1 корень
х= 1, х= – 3 х= –1
Ответ: 1, –3, –1.
ТАБЛИЦА №2
Вариант 1 |
Вариант 2 |
| 1. (х2 +6х)2 –5 (х2
+6х) = 24 2. (х2+2)2– (х2+2) = 12 |
1. (х2 –5)2 –5 (х2
–5) – 36 =0 2. (х2 –4х)2 + 9(х2–4х) = – 20 |
Блок №3. Решение биквадратных уравнений.
Цель: Закрепить способ решения биквадратных уравнений.
| Уравнение вида aх4+ bх2 + с = 0, где а,в,с – числа, х – неизвестная переменная называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения с помощью замены переменной сводится к решению квадратного уравнения. |
Пример– образец №2 Решить биквадратное уравнение х4 – 5х2 + 4 = 0
Решение: х4 –5х2 + 4 = 0, биквадратное уравнение, сделаем замену переменной и решим получившееся квадратное уравнение.
Замена: х2= t 
0
t2–5t +4 = 0
D= 9
t= 4, t= 1
Оба корня положительные, поэтому удовлетворяют
условию t 0.
Обратная замена:
х2 = 4 или х2 = 1
х= 
х= 
х =±2 х =±1
Ответ: ± 2, ± 1.
ТАБЛИЦА №3
Вариант 1 |
Вариант2 |
| 1. х4 – 2х2– 3 =0 2. 5у4 – 5у2 + 2 = 0 3. х4 –4х2 + 4 = 0 |
1. х4 – 5х2 – 36 = 0 2. у4 – 6у2 + 8 = 0 3. 2х4 – 9х2 + 4 = 0 |
Блок №4. Решить уравнения высшей степени.
Цель: Закрепить разные способы решения уравнений высших степеней.
Если, ребята, вы добрались до 4 блока, поздравляю вас, вы делаете успехи. Сейчас вам предстоит самостоятельно выбирать способ решения, переменную, которую нужно заменить.
КАРТОЧКА №4
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
1. (х2 +х)(х2 +х –
5) = 84 2. х4 – 20х2 +100 =0 3. (2х2 +7х –8)(2х2 +7х – 3) –6 =0 |
Блок №5.
Указания учителя. Молодцы!!! Вы, ребята, освоили решение уравнений высших степеней. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
КАРТОЧКА №5
| 1. (х2 –1)(х2 +1) – 4(х2
– 11) = 0 2. х5 + х4 – 6х3 – 6х2 + 5х +5 = 0 3. При каких с не имеет корней уравнение х4 – 12х2 +с = 0 |
Указания учителя.
В случае затруднений воспользуйтесь подсказками, данными ниже.
Подсказки.
1. Воспользуйтесь формулой (а–в)(а+в)= а2– в2, преобразуйте данное уравнение в биквадратное.
2. Сгруппируйте первое слагаемое со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым, примените способ группировки и разложите на множители.
3. Сделайте замену и запишите условие, при котором уравнение не имеет корней, решите получившееся неравенство.