Открытый урок "Квадратные корни. Решение прикладных задач"

Разделы: Математика


Цель урока: использование квадратных корней при решении задач физического, экономического, географического содержания, знакомство с графическим представлением зависимости .

Ход урока:

1. Устная работа.

2. Самостоятельная работа (решение примера).

3. Решение задач.

4. Практическая работа (построение графиков функций img2.jpg (7419 bytes))

5. Задание на дом.

1. Устная работа.

Проверим наши вычислительные навыки.

1.1. “Десять секунд на размышление”.

На решение каждого из следующих заданий попробуйте затратить не более 10 секунд.

1). img3.jpg (7812 bytes)

Сколько множителей в числителе?

(Вопросы: Как удобнее записать знаменатель? Какими свойствами степеней воспользовались?)

Ответ : 10.

2). Что больше: А или В, если

img4.jpg (9947 bytes)

(Можно ли сравнить А и В, не производя вычислений?

Каким свойством арифметического квадратного корня воспользовались?)

Ответ : В больше А.

3). Чему равно a , если img5.jpg (6824 bytes)

(Какое значение может принимать а ? )

Ответ: 10, 0.

4). Вычислите : img6.jpg (6523 bytes)

Ответ : 55.

1.2. Площадь одного квадрата равна 24 дм2, а другого 6 дм2. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго ?

Ответ: в 2 раза.

(Применение понятия квадратного корня в геометрии. Каким свойством квадратного корня воспользовались при вынесении множителя из под знака корня? Можно было найти отношение сторон и воспользоваться другим свойством. Каким?)

1.3. Кирпич падает с высоты 1 м. С какой скоростью он упадет на Землю? Во сколько раз увеличится скорость, если высота увеличится в 2, 4 , 100 раз ?

Справка: Скорость свободного падения тела связана с высотой падения формулой img7.jpg (6220 bytes), где g – ускорение свободного падения 9,81 м/с2 .

Давайте продолжим задачу и узнаем, насколько опасно ходить под карнизами домов, ответив на вопрос: С какой силой кирпич (сосулька) ударится о землю? Для этого воспользуемся формулой:

,

где Dt – время взаимодействия. Из анализа формулы можно сделать вывод: чем больше Dt , тем сила удара меньше. Вот почему наличие шапки или каски на голове смягчает удар

 img10.jpg (11056 bytes)

1.4. Период Т качания математического маятника равен img9.jpg (6240 bytes),

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения. Сравните периоды качания маятников, длины которых относятся как 4 : 1.

Ответ: 2:1.

1.5. Давайте теперь проверим домашнее задание. Оно состояло в том, что надо было вам подобрать такие физические зависимости, в которых бы встречался квадратный корень, составить с ними задачи и по возможности их решить (листочки с домашним заданием собрать после проверки).

2. Самостоятельная работа.

Давайте уточним, решению каких задач мы посвятим наш урок. Ответ на этот вопрос мы получим, упростив выражение, написанное на доске (самостоятельно решают в тетрадях). Наибольшие трудности вызывает работа с квадратными корнями при тождественных преобразованиях. Пусть данное выражение задано на множестве своего определения, которое искать не будем.

img9.jpg (6240 bytes)

А теперь в полученном ответе замените латинские буквы l, g, h, z на русские л, д, н, ы соответственно.

Итак, тема нашего урока: Решение прикладных задач.

3. Решение задач.

№ 1.

Имеется кусок картона в форме прямоугольного треугольника. Длина одного из катетов равна 15 см. Какой длины должен быть второй катет, чтобы из прямоугольника можно было вырезать квадрат площади S? Решите задачу в общем виде, вычислите катет при S=1 дм2 .

img9.jpg (6240 bytes)

№ 2 . Задача Эйлера (для молодых предпринимателей).

Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна - больше, чем другая: обе выручили одинаковую сумму. Первая сказала тогда второй: “Будь у меня твои яйца, я выручила бы за них 15 крейцеров”. Вторая ответила: “А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 и 2/3 крейцера”. Сколько яиц было у каждой?

Крейцер - мелкая разменная монета Австро-Венгрии и южной Германии, обращавшаяся до конца 19 в.

(Решение задачи приводит к пропорции, а её решение - к вычислению квадратного корня).

Пусть вторая имела в k раз больше яиц , чем первая, т.е.

1-ая – х яиц по ka кр.,

2-ая – kx яиц по a кр..

Так как они выручили одинаковую сумму денег, то, вероятно, 2-ая продавала их в k раз дешевле, чем первая.

Если бы перед началом торговли они поменялись яйцами, то 2-ая продала х яиц по а кр., и выручила бы ха кр.,

а 1-ая продала бы яиц по кр., т.е. выручила бы k2xa кр., т.е. выручила бы денег в k2 раз больше, чем 2-ая.

Из этого следует такое отношение их выручек:

img9.jpg (6240 bytes)

Применяя это отношение к 100 яйцам, получим что у 1-ой было (100:5)3 = 60 яиц, у 2-ой – 40яиц.

Ответ: 60 и 40 яиц.

№ 3.(к переписи населения 2002 года)

Придумайте задачу по следующим данным:

Россия: в 1995 году – 148,7 млн. человек,

В 1997 году – 147,3 млн. человек.

Например, население России с 1995 по 1997 год уменьшилось от 148,7 млн. человек до 147,3 млн. человек. Оцените, на сколько процентов в год уменьшалась численность населения. Дома найдите, какое население по данным задачи будет в России к 2003 году.

4. Практическая работа.

Переходим к хозяйственным делам. Представьте себе, что Вы - директор хозяйства, занимающегося выращиванием лекарственных трав. Вы знаете, что должны засадить лекарственными культурами квадратные площади 25 м2 , 16 м2 , 9 м2 , 4 м2 , 1 м2. Ваша задача найти линейные размеры данных участков и построить зависимость стороны участка от его площади, считая, что значение площади изменяется непрерывно от 0 до 16 м2 .

img9.jpg (6240 bytes)

Теперь перед вами стоит обратная задача. Сформулируйте её сами. (Надо узнать площадь квадратных участков, если мы знаем их линейные размеры: 1 м, 2 м, 3 м, 4 м. Переведем условия задачи на математическую модель и построим график зависимости S от а, считая, что а меняется непрерывно от 0 до 4 .)

img9.jpg (6240 bytes)

5. Итак, задание на дом.

Вам надо сравнить полученные графики, построив их в одной системе координат и заменив название конкретных величин на у и х соответственно. В помощь вам предлагаются следующие вопросы:

Что вы можете сказать о расположении графиков по отношению друг к другу?

Сравните области определения и области значений данных функций.

Каковы свойства функции у = х2 при х > 0?

Каковы свойства функции у = vx ?

Найдите значения этих функций при х = 0, 1, 2, 3, 4.

При каких значениях х справедливо неравенство img9.jpg (6240 bytes)

Что вы можете сказать о значении каждой из функций при img9.jpg (6240 bytes)