Урок по теме "Решение уравнений"

Разделы: Математика


Цели:

1. Развитие интереса к математике.
2. Знакомство с основными методами решения уравнений с одной переменной.

План

  1. Целое уравнение. Степень уравнения.
  2. Методы решения уравнений.
    • уравнение 1 степени:
    • уравнение 2 степени:
    • уравнение 3 и 4 степени

а) метод разложения на множители;
б) метод введения новой переменной;
в) рассмотри уравнение как квадратное;
г) графический метод.

  1. Перед нами стоит задача: рассмотреть методы решения уравнений 3 и 4-й степени. Сначала договоримся, что мы будем понимать под степенью уравнения.
  2. Рассмотрим уравнения:

    Как вы думаете, какой степени будет каждое из уравнений?

    (В первых четырех уравнениях степень определяют правильно, а пятое уравнение считают уравнением 6-й степени).

    Мы видим, что последнее уравнение отличается от предыдущих тем, что у тех справа 0, а здесь .

    Поэтому нужно привести это уравнение к виду Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.

    – уравнение пятой степени.

    Таким образом, под степенью уравнения Р(х) = 0 мы будем понимать степень многочлена стандартного вида Р(х), т.е. наибольший показатель степени входящей в него переменной.

  3. Рассмотрим решение уравнений разных степеней.
  1. Любое уравнение первой степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, причем .
  2. Значит .

    Уравнение имеет 1 корень.

  3. Любое уравнение 2 степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, . Это хорошо известное нам квадратное уравнение. Мы знаем, что корни этого уравнения можно вычислить по формуле
  4. , где .

    Т.о. уравнения 1 и 2-й степени мы можем решать с помощью формул.

  5. Любое уравнение 3-й степени мы можем привести к виду:

4. Уравнение 4-й степени – к виду: .

Для этих уравнений тоже существуют формулы для вычисления корней, но они очень сложные, а вот для уравнений 5 и 6 степени таких формул вообще не существует. Поэтому встает вопрос о решении таких уравнений каким-то другим способом, без применения формул корней.

Попытаемся найти эти “ключики” к решению.

а) Рассмотрим уравнение

Как бы вы начали решать это уравнение?

Разложить многочлен в левой части на множители

Произведение = 0, если хотя бы один из множителей = 0, т.е.

Значит уравнение имеет 3 корня: -6; 0; 6.

А теперь внимательно посмотрим на такое уравнение: .

В этом уравнении также можно левую часть разложить на множители, используя способ группировки.

Ответ: –1; 1; 8.

Как же можно назвать метод решения этих уравнений?

(Метод разложения на множители)

б) Дано уравнение:

Ваши предложения по его решению?

(Предлагают раскрыть скобки).

Найти решение такого уравнения довольно сложно.

Каковы особенности данного уравнения?

(выражение встречается в уравнении дважды: во 2-й и 1-й степени, т.е. уравнение похоже на квадратное).

Обозначим .

Получим новое уравнение:

Значит, выражение может принимать значения 36 или –6.

Значит, исходное уравнение имеет четыре корня: – 4; 2; 3; 9.

(Что мы сделали для решения?)

(Ввели новую переменную).

Поэтому этот метод и назовем метод введения новой переменной.

Метод введения новой переменной можно применять для многих типов уравнений.

Например:

Найдем корни этого уравнения, а дальше решение аналогично предыдущему.

Введение новой переменной позволяет решать и такие трехчленные уравнения:

На какое известное уравнение похоже данное? (на квадратное, относительно )

Такие уравнения называются биквадратными.

Обозначим . Получаем уравнение

Например:

Значит:

Ответ: –1; 1; ;

Вообще, многие уравнения можно свести к квадратным, даже если они на квадратные совсем не похожи.

Например:

– уравнение корней не имеет.

в) Можно выделить целую группу уравнений, которые ни одним из рассмотренных методов не решаются.

И тогда на помощь приходят графики.

Рассмотрим уравнение

В правой части хорошо знакомая квадратичная функция; слева – функция вида , графики которой умеем строить.

Решить уравнение значит найти такие значения x, при которых значения этих функций будут равны, т.е. нужно найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

х

0

1

–1

–2

 

– ветви вверх

f(0)=f(6)=9

f(2)=f(4)=4–12+9=1

у

0

0,5

–0,5

–4

 
 
 
 
 

Графики имеют одну точку пересечения, значит уравнение имеет один корень.

Графический способ позволяет найти приближенные значения корней.

Конечно же, мы рассмотрели далеко не все методы решения уравнений, а их существует множество.