Алгоритмы-решатели неравенств открытого банка ОГЭ, основанные на методе интервалов

Общее время основного государственного экзамена по математике 235 минут.

Экзаменационная работа состоит из 20 заданий базового уровня и 6 заданий повышенного уровня.

Неравенства являются заданиями, как первой, так и второй части.

Пользуясь приведенными алгоритмами, основанными на методе интервалов, по плану экзаменационной работы, на решение неравенства базового уровня отводим 3-5 минут, а задания повышенного уровня требуют 10-15 минут.

В основе метода интервалов лежат следующие свойства.

Второе свойство:

Многочлен Р(х)=

при переходе через точку x_i меняет знак, если k_i - нечетное число, т.е. корень x_i нечётной кратности, и не меняет знака, если k_n - четное число, т.е. корень x_i чётной кратности.

Пусть требуется решить неравенство

или , (1)

где k₁,k₂, ..., k_n-1,k_n — фиксированные натуральные числа,

х₁, х₂, … х_n-1,x_n — фиксированные действительные числа, среди которых нет равных, и такие, что х₁<х₂< … <х_n-1<x_n .

Тогда неравенства вида (1) можно решить так называемым методом интервалов.

Рассмотрим многочлен

Р(х)= (2)

Очевидно, что для любого числа y_о, такого, что y_о> х_n, соответствующее значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, поэтому числовое значение Р(y_о) многочлена Р(х) также положительно.

Для любого числа y₁, взятого из промежутка (x_n-1,x_n) , соответствующее числовое значение любого сомножителя, кроме последнего, положительно; соответствующее числовое значение последнего сомножителя положительно, если k_n - четное число, и отрицательно, если k_n - нечетное число. Поэтому число Р(y₁) - положительно, если k_n -четное число, и число Р(y₁) - отрицательно, если k_n - нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что многочлен Р(х) при переходе через точку x_n меняет знак, если k_n - нечетное число, и не меняет знака, если k_n - четное число.

Аналогично показывается, что если известен знак многочлена Р(х) на промежутке (x_i,x_i+1), то на промежутке (х_i-1,x_i), знак определяется по правилу: многочлен Р(х) при переходе через точку x_i меняет знак, если k_i -нечетное число, и не меняет знака, если k_i -четное число. Основываясь на этих рассуждении, пропишем алгоритм, дающих решение алгебраических неравенств вида (1).

  или

”

1. на числовую ось нанести числа х₁, х₂, … х_n-1,x_n ;
2. в промежутке справа от наибольшего из этих чисел, т. е. справа от х_n, поставить знак “+”, в следующем за ним справа налево промежутке поставить знак “+”, если k_n - четное число, и знак “-”, если k_n- нечетное число;
3. в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак, пользуясь правилом: многочлен Р(х) при переходе через точку х_n-1 , меняет знак, если k_n-1 - нечетное число, и не меняет знака, если k_n-l — четное число;
4. затем рассматривается следующий за ним справа налево промежуток, в нем ставят знак, пользуясь тем же правилом;
5. таким образом рассматриваются все промежутки.
6. решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “+”;
   решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “+” с включёнными в них числами х₁, х₂, … х_n-1,x_n ;
   решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “-”;
   решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “-”с включёнными в них числами х₁, х₂, … х_n-1,x_n.

“Решение неравенства вида R(х) > 0 (R(х) 0) или R(х)<0(R(х) 0), где R(х) - многочлен стандартного вида”

1. Многочлен R(х) = а₀хⁿ + а₁х^n-1+...+а_п-1х + а_п (а₀0) разложить на множители и цепочкой равносильных переходов данное неравенство представить в виде или
2. на числовую ось нанести числа х₁, х₂, … х_n-1,x_n ;
3. в промежутке справа от наибольшего из этих чисел, т. е. справа от х_n, поставить знак “+”, в следующем за ним справа налево промежутке поставить знак “+”, если k_n - четное число, и знак “-”, если k_n - нечетное число;
4. в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак, пользуясь правилом: многочлен Р(х) при переходе через точку х_n-1 , меняет знак, если k_n-1 - нечетное число, и не меняет знака, если k_n-l — четное число;
5. затем рассматривается следующий за ним справа налево промежуток, в нем ставят знак, пользуясь тем же правилом;
6. таким образом рассматриваются все промежутки.
7. решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “+”;
   решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “+” с включёнными в них числами х₁, х₂, … х_n-1,x_n ;
   решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “-”;
   решением неравенства будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак “-”с включёнными в них числами х₁, х₂, … х_n-1,x_n.

Вышеизложенные алгоритмы можно применять при решении алгебраических неравенств вида:

1. V(х)>Q(х) ( V(х) Q(х)) или V(х)<Q(х) ( V(х) Q(х)).
2. . Его решение равносильно решению неравенства
3. . Его решение равносильно решению неравенства ,
4. . Его решение равносильно решению системы
5. . Его решение равносильно решению системы