Урок алгебры по теме «Формула суммы и первых членов арифметической прогрессии»

Разделы: Математика


Цель: познакомить учащихся с формулами суммы n первых членов арифметической прогрессии; сформировать умение применять данные формулы при решении задач.

I. Устно (фронтальная работа с классом)

1) Какая последовательность, заданная формулой n-го члена является арифметической прогрессией: а) xn =2n+5; б) xn =3n(n+2); в) xn =(n+1)/(n+2)?

2) Назовите первый член и разность арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена an =115n-4.

Трое учеников работают по индивидуальным карточкам.

Карточка 1

  1. Как задать арифметическую прогрессию?
  2. У арифметической прогрессии первый член 4, второй 6. Найдите разность d.

Карточка 2

  1. Как выражается любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?
  2. Найти 10-й член арифметической прогрессии, если a9 =34?a11 =58.

Карточка 3

  1. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
  2. (an )- арифметическая прогрессия, a1 =-0,8, d=4. Найдите a5 .

II. Изучение нового материала

1) Рассказать учащимся о немецком математике К. Гауссе (1777-1855), который решил следующую задачу за несколько секунд, будучи учеником начальной школы: “Найдите сумму первых ста натуральных чисел”. Предложить учащимся решить данную задачу, предварительно прочитав стихотворение-подсказку:

Задача эта непроста,
Как сделать, чтобы быстро,
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа.
Пять первых связок рассмотри,
Найдешь к решению ключи.

Решение.1+2+3+…+97+98+99+100=101?50, т.к. 1+100=2+99=3+97=101.Таких пар 50. Получим 101?50=5050.

Ответ: 5050.

2) Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии провести согласно п. 27 учебника стр. 147-148.

Пусть сумма первых n первых членов арифметической прогрессии равна Sn . Тогда

Sn 12+…+аn-1n или Sn nn-1+…+а21 . Складывая эти равенства почленно, получим: 2 Sn =(а1+ аn )+(а2+ аn-1 )+…+(аn-1+ а2 )+(аn + а1)=(а1+ аn )n. Отсюда имеем формулу Sn=((а1+ аn )n)/2.

3) Учащиеся, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии, самостоятельно выводят формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, содержащую первый член и разность арифметической прогрессии.

III. Закрепление нового материала. (Слабым учащимся выдать алгоритм нахождения суммы n членов арифметической прогрессии)

Алгоритм нахождения суммы n членов арифметической прогрессии

  1. Запишите условие задачи.
  2. Запишите нужную формулу.
  3. Найдите неизвестные компоненты, входящие в формулу.
  4. Найдите значение Sn, подставив найденные компоненты в формулу.
  5. Запишите ответ.

Пример 1 Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5;… .

Дано:

а1 =4
а2 =5,5
Найти: S30

Решение.

1) Sn=((а1+ аn )n)/2

2) аn = а1 + d(n-1); d= а2 - а1

d=5,5-4=1,5

а30 =4+1,5(30-1)=47,5

Ответ. 772,5

Сильным учащимся предложить решить данную задачу по формуле, содержащей первый член и разность арифметической прогрессии. Вычисления будут выглядеть так: S30 =((2?4+1,5?29)?30)/2=772,5.

IV. Итог урока

1) Как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известны:

а) первый и n-й члены арифметической прогрессии,

б) первый член и разность арифметической прогрессии.

2) (an ) - арифметическая прогрессия

а) a1 =3, a60 =57. Найдите S60 .

б) a1 =-17, d=6. Найдите S9 .

V. Задание на дом: п. 17, № 603(б),605(б), 608.

Литература

1) Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А45 [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред.С.А. Теляковского. -М.: Просвещение, 2010.

2) Алгебра в 6-8 классах: Пособие для учителей/Ф.М. Барчунова, А.А. Бесчинская, Л.О. Денищева и др.; Сост. Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. -М. :Просвещение, 1988.