Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- Образовательные
- способы задания последовательностей
- формула n-го члена последовательности
- предел последовательности,
- сумма бесконечной геометрической прогрессии
- понятие фрактальной геометрии
- Развивающие
- выработка умения подмечать закономерности, проводить рассуждения;
- формировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации;
- выявлять взаимосвязи различных разделов математики
- формировать творческое мышление
- Воспитательные
- воспитание умения математически исследовать явления реального мира.
- воспитывать интерес к математике, к истории развития математики
ХОД УРОКА
Актуализация знаний учащихся
3) Разделите на три равные
части и удалите середины каждого из двух
оставшихся отрезков.
4) Выполните это преобразование еще 2 раза. Дальнейшее деление отрезка неудобно для выполнения. (Слайд 2)
5) Просмотр видео из интернета [5] с 15:41 до 16:10 (О множестве Кантора).
О фрактальной геометрии
Рассмотренный нами пример иллюстрирует так
называемое Канторово множество (Пыль Кантора)
– простейший фрактал, описанный Георгом
Кантором (1845-1918) – немецким математиком в 1883 году.
[3, 4]
Слово фрактал в переводе означает состоящий из
фрагментов. Оно было предложено американский
математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения самоподобных структур,
которыми он занимался. (Слайд 3)
По нестрогому определению Мандельброта,
фракталом называется структура, состоящая из
частей, которые в каком-то смысле подобны целому.
Это свойство объектов Бенуа Мандельброт назвал
фрактальностью, а сами такие объекты –
фракталами (от латинского fractus – изломанный).
Продолжение Исследования 1
Определение предела последовательности
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Исследование 2
Широко известно семейство самоподобных фракталов польского математика Вацлава Серпинского. Первый из этих фракталов – «салфетка Серпинского» – появился в 1915 году, задолго до появления фрактальной геометрии. Пусть начальным множеством является равносторонний треугольник. (Слайд 5). Разобьем его на 4 области, соединив середины сторон исходного треугольника отрезками. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующую итерацию (Рис. 2).
Рис. 2
Продолжая этот процесс до бесконечности,
образуем множество, которое и является салфеткой
Серпинского. Считаем площадь исходного
треугольника равной 1. Заметим, что площади
удаленных треугольников образуют
геометрическую прогрессию, 
(Слайд 5)
Применяя формулу суммы бесконечной
геометрической прогрессии, имеем: площадь суммы
удаленных треугольников равна исходному
треугольнику. А значит, площадь салфетки
Серпинского равна 0. [4]
Самостоятельная работа
1) По вариантам № 25.1(а, б), 25.2(а, б), 25.3(а, б), 25.5(а, б), 25.9 (а, б),
2) Вычислите сумму удаленных частей площадей для фигур, изображенных на Рис.3 (Слайд 6), приняв исходную площадь за 1.
Рис. 3
Разбор заданий из второй части самостоятельной работы
2) Изображение приобрело вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Оно известно, как кривая Коха, по имени шведского математика Х. фон Коха, впервые описавшего подобный феномен в 1904 г. Кривая Коха произвела очень сильное впечатление на математиков своего времени и была прозвана математическим монстром. Было непонятно, как к ней применить законы Евклидовой геометрии. Английский метеоролог и естествоиспытатель Льюис Фрай Ричардсон, занимавшийся измерением длины береговой линии, исследовав невероятную “снежинку” Коха, обнаружил, что она обладает тем же свойством “безразмерности” (Слайд 10). [4]
3) Просмотр видео [5] с 30:20 до 33:55 (О фрактальной форме антенн).
Визуальное представление свойств сходящихся последовательностей
Бенуа Мандельброт работал в IBM и при помощи компьютера мог выполнять бесконечные итерации (многократно повторяющиеся циклы вычислений), необходимые для построения математических монстров. Он занялся решением задачи французского математика Гастона Жюлиа.
Оказалось, что числа, которые получаются в результате преобразования Жюлиа, либо стремятся к нулю, либо стремятся к бесконечности. Будем считать окрестностью числа 0 окружность единичного радиуса. Если построить на координатной плоскости множество таких точек, то можно добиться интересных цветовых решений, задавая точке тот или иной цвет в зависимости от скорости попадания в ловушку. (Слайд 11)
При помощи компьютера Мандельброт проделал миллионы итераций и получил миллионы таких чисел. Затем эти числа он изобразил графически. Построенное таким образом множество Мандельброта стало эмблемой фрактальной геометрии. [5]. При наличии времени демонстрируется работа компьютерной программы по построению множеств Жюлиа и Мандельброта. (Рис.5 программа на PascalABC).
Подведение итогов урока
Задание на дом:
§24, 25, № 24.8, 25.4, 25.9, 25.11
Источники информации:
- Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
- http://ru.wikipedia.org/wiki/Кантор,_Георг
- Гринченко В.Т., Манцыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. – М.: Издательство ЛКИ, 2010.
- Фракталы. Поиски новых размерностей / Fractals. Hunting The Hidden Dimension