Цели урока: формирования знаний по теме, организация работы по усвоению понятий, научных фактов.
Образовательные задачи:
- ввести понятие вписанного угла;
- научить распознавать вписанные углы на чертежах;
- предвидеть дополнительное построение, содержащее вписанный угол, ведущее к решению задачи;
- рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее;
- показать применение теоремы при решении задач;
- познакомить с оптическими иллюзиями
Воспитательные задачи: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение к познанию оптической иллюзии и ее применение на практике, воспитание эстетической культуры.
Развивающие задачи: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; совершенствовать графическую культуру.
Технология: проблемное изучение с применением информационных технологий.
Тип урока: урок формирования новых знаний.
Форма урока: урок – проблемное изложение.
Оборудование урока: презентация: презентация, листы самоанализа.
Этапы урока
- Мотивирование к учебной деятельности -1 минута.
- Постановка проблемы и создание плана ее решения – 2 минуты.
- Актуализация знаний - 4 минуты.
- Открытие нового понятия - 10 минут.
- Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия - 4 минуты.
- Применение новых знаний - 11 минут.
- Игра “Веришь - не веришь” с целью закрепления нового теоретического материала - 2 минуты.
- Индивидуальная работа с тестом - 5 минут.
- Применение новых знаний в незнакомых ситуациях - 4 минуты.
- Рефлексия - 3 минуты.
Ход урока
1. Мотивирование к учебной деятельности
Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я, надеюсь, что те знания, которые Вы получите на уроке пригодятся Вам в жизни.
2. Постановка проблемы и создание плана ее решения
Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом? (Cлайд 2). Презентация
Какие у Вас есть версии решения этой задачи?
Возникает проблемная ситуация. Знаний у учеников не хватает.
Чтобы ответить на этот вопрос, надо использовать свойства вписанного угла. Тогда давайте вместе составим план действий на уроке. Какие цели урока и как мы их будем достигать?”. В ходе обсуждения на экране появляется план урока. (Cлайд 3)
3. Актуализация знаний
Учитель: “ Дайте определение угла. Что называется центральным углом?”. (Cлайд 4)
Задачи (Cлайд 5
4. Открытие нового понятия
Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему? (Cлайд 6)
Острые, прямые, тупые.
Углы 1, 3, 5 и 2, 4, 6 по расположению вершины угла? Как называют углы 1, 3, 5 ?
А углы 2, 4, 6 –называются вписанными. Вот о них мы сегодня и поведём речь.
Чем похожи и чем отличаются углы АВС и КРО? (Cлайд 7)
После ответа на этот вопрос учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, после чего учитель выводит на экран формулировку, подчеркивая важные моменты: (Cлайд 8)
- вершина лежит на окружности,
- стороны пересекают окружность.
Далее, работа со слайдом 9 на закрепление понятия вписанного угла.
Найти рисунки, на которых изображены вписанные углы.
Задание. Выразите величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается. Работа со слайдом 10
Какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы выполнить указанное задание? Если учащиеся сразу не догадаются, уточнить: какой центральный угол нужно связать с данным вписанным углом?
Далее учащиеся видят, что полученный центральный угол является внешним углом равнобедренного треугольника и приходят к выводу, что один из углов (в частности вписанный), равный их полусумме, равен половине центрального, т.е. половине дуги, на которую он опирается.
Далее учитель подтверждает замеченный ими факт, и говорит, что по сути дела в данном случае доказана теорема, которую нужно формулировать точно в соответствии с учебником.
Дается точная формулировка теоремы и проецируется на экран. (Cлайд 11).
Ученики в тетрадь переносят чертеж (слайд 12), далее записывают в тетради условие. Один из учащихся комментирует записи. Следующий ученик записывает и комментирует доказательство теоремы. Логичность и полноту оформления проверяют с помощью слайда 12). Таким образом, оформлено доказательство теоремы для случая, когда сторона вписанного угла проходит через центр окружности.
Случай, когда центр окружности лежит внутри угла, рассматривается устно с применением слайда 13.
Следующий случай, когда центр окружности лежит вне угла, учитель предлагает обосновать самостоятельно при домашней подготовке. (Cлайд 14). В классе же по чертежу слайда 15 выясняют, что данный вписанный угол можно рассматривать как разность двух углов, у каждого из которых одна сторона является какой либо стороной данного угла, а вторая сторона общая и проходит через центр окружности.
5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия
Работа со слайдом 15.
Задание. Как быстро с помощью циркуля и линейки построить сразу несколько углов, равных данному углу? Они замечают, что их способы способ нерациональны. Возникает проблемная ситуация: старые знания не дают рационального решения поставленной задачи.
Подумайте, как, используя новый материал, можно решить эту задачу. Можно провести окружность, проходящую через вершину угла, без указания центра и построить различные вписанные углы, опирающихся на одну дугу. Проблемная ситуация разрешена. После чего формулируется следствие 1: “Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны”.
Аналогично проводится работа, ведущая к формулировке следствия 2. (Cлайд 16)
Как быстро с помощью циркуля и линейки построить прямой угол? Разъясняется, что “быстро” надо понимать за “минимальное число шагов”. Приходим к нерациональности данного построения. Если ученики не догадались, как выполнить построение, учитель задает вопрос: на какую дугу должен опираться прямой вписанный угол? После этого ученики излагают пошагово ход построения:
- Начертить окружность произвольного радиуса.
- Провести диаметр.
- Выбрать любую точку окружности, кроме концов диаметра.
- Провести лучи из выбранной точки через концы диаметра.
После этого учитель говорит, что в данном построении использовалось следствие 2 из теоремы о вписанном угле. Попробуйте его сформулировать.
Уточненная формулировка проецируется на экран. (Cлайды 17-19)
6. Применение новых знаний
Решение задач на закрепление нового материала. Работа со слайдами 20-26.
7. Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.(Cлайд 27)
Игра “ Веришь - не веришь”
- Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
- Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
- Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
- Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
- Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚?
- Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?
- Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
- Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?
8. Индивидуальная работа с тестом. (Cлайды 28-30)
Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.
Вариант 1.
1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ
а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;
2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.
а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;
3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126°
а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;
Вариант 2.
1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.
а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;
2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.
а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;
3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.
а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;
Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста.
| Задания | 1 | 2 | 3 |
| 1 Вариант | Б | В | В |
| 2 Вариант | Б | В | В |
9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях
а ) Работа со слайдами 31-33.
Учитель: “Дома Вы решали задачу на вычисление углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. Как Вы ее решили?”.
Как решить эту задачу с помощью теоремы о величине вписанного угла.
II способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто: 360°: 5 :2 *5=180°.
б)Разбор математического софизма на применение теоремы о величине вписанного угла.
Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.(Cлайд 34-36) Найти ошибку в рассуждениях.
Решение. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), Ð А = Ð С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, Ð ВDА= Ð ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит,
▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Поэтому, АВ=ЕС.
Найдите ошибку в рассуждениях.
в) Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. (Cлайды 37-39)
Показать, какую иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы и вписанные углы.
Тест1. Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы. Хотя углы АОВ, ВОС, COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.
Тест 2-3. Здесь доминирующими являются окружности. Углы, вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.
Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.
10. Рефлексия
Давайте вернемся к плану урока и посмотрим, на все ли вопросы мы ответили?
Мы с Вами не ответили на один вопрос. Так как же надо посадить три розы? (Cлайд 40-41)
Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.
В конце урока учащимся для заполнения может быть выдана анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку, при этом, дополнительно, может быть сформулировано задание на аргументацию своего ответа:
1. На уроке я работал…;
2. Своей работой на уроке я…;
3. Урок для меня показался…;
4. За урок я…;
5. Материал урока мне был…;
6. Домашнее задание мне кажется…
Домашнее задание. (Cлайд 42)
- П. 71, выучить определение вписанного угла;
- выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;
- № 654 № 656 № 657.
Список литературы:
- Геометрия: Учеб. Для 7–9 кл. общеобразов. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 12-е изд., – М.: Просвещение, 2002 г.
- Зив Б.Г., Мейлер В.М., Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.
- Смирнова И.М., Смирнов В.А. Устные упражнения по геометрии для 7–11 классов. Книга для учителя. М.; Просвещение, 2003 г.
- Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия 7–9 классы. “Илекса”, “Гимназия”, Москва-Харьков, 2003 г.
ЦОРы и Интернет-сайты:
- Мастерская. Мультимедийные презентации для уроков математики. http://www.intergu.ru/infoteka/
- Интернет-государство учителей в разделе Инфотека-Математика. http://www.intergu.ru/infoteka/
- ЦОРы с портала “Сеть творческих учителей”.