В 2012/13 учебном году на ФГОС основного общего образования стали переходить пятые классы. Образовательный стандарт определяет требования к структуре, результатам основной образовательной программы и условиям её реализации и тем самым утверждает минимальный уровень качества общего образования. Особое внимание в тексте стандарта уделено требованиям к кадровому обеспечению – профессиональной компетентности педагога. За долгие годы в массовой школе сложилась традиционная система преподавания, и переход на системно-деятельностный подход, декларированный в новых стандартах, не может произойти сразу и повсеместно. Для достижения метапредметных и личностных результатов нужны согласованные действия учителей разных предметов. Чтобы учителя соответствовали новым требованиям, каждому из них надо овладеть компетенциями, необходимыми для реализации ФГОС.
Изменились и требования, предъявляемые к выпускнику Новой школы:
- мотивированный к познанию, владеющий достаточными знаниями, необходимыми для успешной социализации и обучения на протяжении всей жизни;
- критически мыслящий, готовый к сотрудничеству и коммуникации, способный отвечать за свои действия и их последствия, уважающий закон;
- толерантный, т.е. любящий свою семью, свой народ, культуру, но и открытый ценностям, традициям других народов, других культур, уважающий разные точки зрения;
- социально ответственный, готовый к смене социальных ролей, получению нового знания, освоению новых видов деятельности, обладающий навыками саморефлексии.
Много вопросов встает перед учителем, планирующем в следующем учебном году взять пятые классы, обучение которых сейчас проходит по новым стандартам. При переходе из начальной школы в среднюю учащиеся всегда преодолевают сложный психологический барьер: им приходится привыкать к предметной системе обучения, к занятиям в разных кабинетах, и к новым учителям, и к требованиям каждого из них. В этот период у учащихся наблюдается повышенная нервная возбудимость, быстрая утомляемость, рассеянное внимание и, как следствие, снижение успеваемости. Поэтому важно в начале учебного года помочь пятикласснику адаптироваться в новых условиях, и вести преподавание с учетом не только тех знаний, которые учащиеся получили в начальных классах, но и с использованием тех методических приемов, которые характерны для начальной школы.
Великий русский писатель Л.Н.Толстой говорил: “Если ученик не научится сам ничего творить, то в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений”. При изучении математики у учащихся формируются характерные для этого предмета приемы мыслительной деятельности, алгоритмические умения и навыки, фиксированные в стандартных правилах, формулах и способах действий. С точки зрения воспитания творческой личности, особенно важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников вошли эвристические приемы как общего, так и конкретного характера. Владение этими приемами позволит учащимся самостоятельно управлять процессом решения творческих задач, применять знания в новых, необычных ситуациях. Думаю, что включение такого рода задач в учебный процесс будет способствовать более глубокому усвоению знаний и закреплению умения пользоваться эвристическими приемами. Систематическая работа с такими задачами создает благоприятные возможности для проявления инициативы и самостоятельности учащихся, развития их творческого потенциала.
Приведем небольшую подборку задач для учащихся пятого класса с кратким описанием основных эвристических приемов.
Анаграммы. Анаграммой называют перестановки букв в слове. Решить анаграмму означает найти осмысленное слово, составленное из данных букв. Особо интересны те случаи, когда анаграмма может быть решена несколькими способами.
Примеры анаграмм, дающих пару слов, одно из которых - математический термин: 1) КТЕОВР; 2) ОУНСК; 3) РТСКЕО
Анаграммы, имеющие более двух решений: 4) ПРСЕ; 5) ОУЛНК; 6)ОСТР
Учащиеся с удовольствием включаются в игру, принося на следующие уроки всё новые и новые анаграммы. На уроках математики, во время устного счета, упражнения, содержащие анаграммы дают большой развивающий эффект. Анаграммы можно оставлять на доске и на переменах.
Ответы:1) вектор, корвет; 2) конус, сукно; 3) вектор, корсет; 4) серп, перс, репс; 5) клоун, кулон, уклон, колун; 6) сорт, торс, трос.
Аналогия. Часто аналогия является одним из основных способов поиска решения задач, позволяющим прийти к требуемому результату, найдя какое-то сходство между объектами в некотором отношении. Подобные задачи направлены на отработку проведения словесных аналогий и нахождения аналогии между фигурами. Суть заданий состоит в следующем. В верхнем ряду заданы три объекта: слова или фигуры. Между первыми двумя из них есть определенная связь. Нужно её установить и, рассуждая аналогично, подобрать из нижнего ряда объект, имеющий такую же связь с третьим.
Тема “Геометрические фигуры”.
7) На рисунке 1 в верхнем ряду изображены три фигуры. Подумайте, как связаны первые две из них и укажите в наборе а) - г) четвертую фигуру, которая точно так же связана с третьей.
Тема “Единицы измерения длин и площадей”
8) Заглавными буквами выделены три слова. Подумайте, как связаны первые два из них и укажите в списке а) - г) четвертое слово, которое точно так же связано с третьим:
САНТИМЕТР - МИЛЛИМЕТР, ГЕКТАР - ?
а) километр, б) квадратный дециметр, в) площадь, г) метр.
9) Заглавными буквами выделены три слова. Подумайте, как связаны первые два из них и укажите в списке а) - д) четвертое слово, которое точно так же связано с третьим:
АР - КВАДРАТНЫЙ МЕТР, ДЕЦИМЕТР - ?
а) длина, б) метр, в) сантиметр, г) миллиметр, д) километр.
Тема “Куб. Прямоугольный параллелепипед”.
10) Заглавными буквами выделены три слова. Подумайте, как связаны первые два из них и укажите в списке а) - г) четвертое слово, которое точно так же связано с третьим:
КВАДРАТ - ПРЯМОУГОЛЬНИК, КУБ - ?
а) прямоугольный параллелепипед, б) шар, в) ромб, г) пирамида.
Ответы:7) фигура б); 8) квадратный дециметр; 9) миллиметр; 10) прямоугольный параллелепипед.
Принцип Дирихле - это утверждение, согласно которому в любой совокупности из n множеств, содержащих в общей сложности n элементов, есть хотя бы одно множество, содержащее не менее двух элементов. Принцип Дирихле часто применяется при решении математических задач. Основная идея решения задач такова, что если при разбиении множества на непересекающиеся части удается установить взаимосвязь между количеством элементов множества (N) и числом его частей (n) в виде N > n, то тогда можно утверждать, что среди этих частей есть такая, которая содержит более одного элемента.
Пример решения задачи. В классе 41 ученик написал по три контрольные работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что по крайней мере 7 человек получили одинаковые отметки по всем трем контрольным, а другой, подумав, сказал, что таких учеников с одинаковыми отметками, наверное, будет 8. Кто из них прав?
Решение. Разобьем класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок: 3, 4, 5; 3, 5, 4;, 4, 3, 5; 4, 5, 3; 5, 4, 3; 5, 3, 4 (всего 6 групп). Если в каждой группе не больше 6 человек, то всего в классе не больше 36 человек, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере в одной из этих групп не меньше 7 человек. Возможен случай, когда в каждой группе не больше 7 человек, и, следовательно, утверждение второго ученика может быть неверным. Итак, прав только первый ученик.
Предлагаемые задачи можно использовать на уроках любой тематики в5 классе.
11) В коробке лежат карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?
12) В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя бы два ученика, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря?
Ответы: 11) 5 карандашей; 12) да.
Доказательство от противного. Доказать справедливость утверждения “от противного”, значит предположить противное и путем логических высказываний прийти к противоречию с условием, что доказывает неверность высказанного предположения.
Тема “Сложение и вычитание натуральных чисел”.
13) Доказать, что из натуральных чисел от 1 до 100 нельзя выбрать 71 число таким образом, что бы их сумма равнялась сумме остальных чисел.
Тема “Деление с остатком”.
14) Витя сказал своему другу Коле: “Я придумал пример на деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно на 1, 3, 5 и 7”. Подумав, Коля ответил: “Что-то ты путаешь”. Прав ли Коля?
Ответы:
13) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равно5050, а сумма 71 из них не меньше, чем 1+2+3+...+71=2556. Но число 2556 больше половины от 5050. Следовательно, требуемые 71 число выбрать нельзя.
14) Предположим, что такой пример на деление существует. Тогда делимое a, делитель b, частное q и остаток r - нечетные числа. Но из равенства a=bq+r следует, что a - четное число. Полученное противоречие доказывает неверность высказанного предположения. Значит, Коля прав.
Инверсия - перестановка или расположение членов выражения в особом порядке, нарушающем заданный с целью получения нового выражения , тождественно равного данному и более удобного для выполнения последующих преобразований.
Тема “Сложение и вычитание натуральных чисел”.
15) Как быстро вычислить: а) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 … = 99;
б) 99 + 95 + 91 + … + 7 + 3 - 1 - 5 - … - 89 - 93 - 97?
Указание: 15) а) Использовать группировку: (1 + 99) + (3 + 97) + (5 + 95) +...+ (49 + 51). б) Использовать группировку: (99 - 97) + (95 - 93) +...+ (7 - 5) + (3 - 1).
Исключение лишнего. В каждой задаче даны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом и только один отличается от всех остальных. Необходимо выявить лишний объект.
Тема “Натуральные числа и действия над ними”.
16) Исключите лишнее слово: СУММА, РАЗНОСТЬ, МНОЖИТЕЛЬ, ЧАСТНОЕ.
Тема “Геометрические фигуры”.
17) Исключите лишнюю фигуру на рисунке 2.
Тема “Делимость натуральных чисел”.
18) Исключите лишнее слово: ДЕВЯТЬ, ДВЕНАДЦАТЬ, ВОСЕМЬ, ПЯТНАДЦАТЬ.
Ответы: 16) Множитель. 17)Возможный ответ: Фигура 0 - замкнутая ломанная, остальные незамкнутые ломанные. 18)“Восемь”. Все остальные слова означают числа, кратные 3.
Контрпример и подтверждающий пример. Чтобы убедиться в ложности высказывания, необходимо привести пример, для которого заданное свойство не выполняется. Чтобы доказать истинность высказывания, необходимо указать хотя бы один пример, для которого заданное свойство выполняется.
Тема “Натуральные числа и действия над ними”
19) Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?
20) Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?
Тема “Квадрат и куб числа”.
21) Можно ли число 72 представить в виде произведения нескольких натуральных чисел так, чтобы сумма квадратов этих чисел тоже была равна 72?
Тема “Треугольник”.
22) Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получились 3 четырехугольника?
Ответы: 19) нет; 20) да, можно; 21) да, можно; 22) да, можно.
Рассмотрение крайних случаев. Смысл приема заключается в том, чтобы на основе изучения поведения исследуемого объекта в крайних или предельных случаях, исходя из наибольших или наименьших значений, выявить области поиска решения задачи. Рассмотрим пример применения такого способа.
Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4 составили два четырехзначных числа с различными цифрами. Доказать, что ни одно из них не делится на другое.
Решение. Наибольшее число, которое может быть составлено из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что цифры в записи числа не повторяются, равно 4321, а наименьшее - 1234. Отсюда, если бы одно из составленных чисел делилось бы на другое, отличное от первого, то в частном получилось бы либо 3, либо 2. Но сумма цифр составленных чисел равна 1 + 2 + 3 + 4 = 10 и не делится на 3, поэтому в частном не может быть 3. В частном не может быть и 2, так как при умножении числа, составленного из цифр 1, 2, 3, 4 на 2 получается число, составленное из цифр 2, 4, 6, 8, что противоречит условию. Следовательно, данное в задаче утверждение справедливо.
Следующие задачи могут быть предложены пятиклассникам на уроках любой тематики.
23) Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?
24) Расстояние от пункта А до пункта В 6км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть а)19км? б) 6км? в) 10км? г) 4км?
25) Гриша с папой пошел в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?
Ответы: 23) Вова не прав; 24) а) нет, б) да, в) да, г) нет; 25) 6 раз.
Общее окончание. В данном случае это слово, получаемое из заданных слов отбрасыванием первых несовпадающих сочетаний букв и отдельных букв. Например, общим окончанием слов ВЕРШИНА и МАШИНА является слово ШИНА. Учащиеся лучше справятся с заданиями, если им указать некоторый общий признак искомого слова.
26) Окончанием данных слов служит математический термин из пяти букв. Найдите его ( рис. 3.)
27) Окончанием данных слов служит математический термин из четырех букв. Найдите его (рис. 4.)
28) Окончанием данных слов служит название единицы измерения одной из математических величин, состоящее из двух букв. Найдите его (рис. 5.)
Ответы: 26) точка; 27) метр; 28) ар.
Лексические омонимы - слова, имеющие одинаковую форму, но различные по значению. В предлагаемых задачах нужно найти слово, которое означало бы то же самое, что и слова или словосочетания, стоящие вне скобок. Число точек в скобках равно числу букв в искомом слове.
29) МЕРА УГЛА ( . . . . . . ) МЕРА ТЕМПЕРАТУРЫ
30) ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК ( . . . . . . . ) ВТОРАЯ СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
31) ПОДЗЕМНАЯ ЧАСТЬ РАСТЕНИЯ ( . . . . . . ) РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Ответы: 29) градус; 30) куб; 31) корень.
Перебор - проведение определенным образом организованного перебора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.
Пример: В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число.
Решение: Выпишем все такие двузначные числа: 12, 24, 36, 48. Найдём сумму каждого из них с числом 36: 12 + 36 = 48; 24 + 36 = 60; 36 + 36 = 72; 48 + 36 = 84. Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только число 48.
Тема “Нумерация натуральных чисел”
32) Сколько имеется двузначных чисел, у которых а) среди цифр есть хоть одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?
33) Количество учащихся одной из школ выражается трехзначным числом. Если найти сумму цифр этого числа, затем сумму цифр полученного числа, то все эти числа можно записать так: АВА, ВС, В, где одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры. Сколько учеников в этой школе?
Тема: “Сложение и вычитание натуральных чисел”
34) Лиса наловила 28 окуней и разложила их в 7 кучек так, что во всех кучках было разное число рыб. Попробуйте и вы так разложить.
35) Напишите девять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не меняя порядка этих цифр, расставьте между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, чтобы в результате получилось 100.
Тема: “Сравнение натуральных чисел”.
36) В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим.
Тема: “Умножение и деление натуральных чисел”.
37) Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно?
Тема: “Квадрат и куб числа”.
38) Если между числами двузначного числа поставить цифру 2, то получится трехзначное число, равное квадрату исходного. Найдите это число.
Тема “Геометрические фигуры”
39) Сколько четырехугольников в пятиугольной звезде (см.рис.6.)?
40) В одном квадрате спрятались 44 треугольника (см.рис.7.). Найди их.
Ответы: 32) а)18; б)36; в) 45; 33) В = 2, ВС = 20, АВА = 929; 34) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =28; 35) 123 - 45 -67 + 89 =100; 36) а)852, б) 352; 37) 21 нулём; 38) 11, т.к. 112=121; 39) 5 четырёхугольников.
Перефразирование. При решении задачи с использованием этого приема, необходимо перейти к равносильной путем перевода текста исходной задачи на другой язык (например, с естественного на символический) или нахождения новой интерпретации заданных условий в рамках одного и того же языка. Такой перевод лежит в основе алгебраического метода решения текстовых задач, заключающегося в составлении уравнения, неравенства, системы уравнений или системы неравенств.
Тема “Нумерация натуральных чисел”.
40) Во сколько раз больше число, выраженное девятью единицами шестого разряда, чем число , выраженное тремя единицами второго разряда?
Тема “Распределительное свойство умножения”.
41) Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?
Тема “Объем куба”.
42) Определите ребро куба, объем которого в м3и площадь поверхности в м2выражается одним числом.
Ответы: 40) В 30 000 раз; 41) увеличится на 60; 42) 6 м.
Приём получения следствий состоит в том, что раскрытие содержания исходных данных даёт возможность получить некоторые выводы, а из полученных результатов - новые выводы и т.д. Нередко таким способом удаётся найти решение предложенной задачи.
Тема “Нумерация натуральных чисел”.
43) При сложении нескольких чисел ученик допустил ошибку: цифру единиц 3 он принял за 8, цифру десятков 7 принял за 4, а цифру тысяч 6 - за 5. В сумме получилось 16054. Найдите верную сумму.
Тема “Умножение натуральных чисел”.
44) Сколько всего прапрабабушек и прапрадедушек было у всех Ваших прапрабабушек и прапрадедушек?
Тема “Деление натуральных чисел”.
45) Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель, частное?
Ответы: 43) 17079.
44) Решение: Так как у каждого человека было 8 прабабушек и 8 прадедушек, а у каждого из этих 16 человек также было по16 прямых предков в “четвёртом колене”, то искомое число равно 1616 = 256.
45) Решение: Делимое в 6 раз больше делителя означает, что частное равно 6. Отсюда, если частное равно 6, а делитель в 6 раз больше частного, то делитель равен 36. Окончательно получаем, что делимое равно 366=216.
Метод “проб и ошибок” - эвристический прием, который используется в тех ситуациях, когда у решающего нет более конструктивных идей. Прежде чем добиться искомого результата, необходимо отвергнуть массу неудачно выбранных действий, отказаться от каких-то вариантов и вновь вернуться к ним и, как правило, случайный успех позволяет нащупать верное решение.
Тема “Арифметические действия над натуральными числами”.
46) Поставь скобки так, чтобы равенство было верным 966432-2195-375=3000
Тема “Треугольник”.
47) Проводя 2 прямые, разделите треугольник на : а) два треугольника и один четырёхугольник; б) два треугольника, один четырёхугольник и один пятиугольник.
Тема “Прямоугольник”.
48) Как разрезать на две части прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см так, чтобы из них можно было сложить квадрат?
Ответы: 46) 966432-2195-375=3000; 47) см. рис 8; 48) см.рис.9.
Цепочка слов. Некоторые слова содержат одинаковые сочетания букв, имеющие лексическое значение. Например: “паспорт”, “транспортир”. В предложенных упражнениях требуется найти такие пары слов, в которых общие сочетания букв стоят соответственно в конце и начале слова.
49) Восстановить цепочку слов, если концом первого слова и началом второго служит название меры времени из трёх букв.
ЧЕЛО( . . . )ТОР
50) Восстановить цепочку слов, если концом первого слова и началом второго служит название меры массы из пяти букв.
МИЛЛИ( . . . . . )ОФОН
51) Восстановить цепочку слов, если концом первого слова и началом второго служит междометие из трёх букв.
КУЛЬТ( . . . )ВНЕНИЕ
Ответы: 49) ЧЕЛО(ВЕК)ТОР; 50) МИЛЛИ(ГРАММ)ОФОН; 51) КУЛЬТ(УРА)ВНЕНИЕ.
Эти упражнения направлены на формирование умения оперативно работать со словесным материалом, непринужденное запоминание математической терминологии и активизацию познавательной деятельности пятиклассников.
Быстрое изменение в технологии производства и других областях деятельности человека требует постоянного наблюдения за техническим прогрессом. Это значит, что образование в школе не может претендовать на окончательную подготовку к работе. Быстрое увеличение объема знаний означает быстрое устаревание полученных знаний. Поэтому от каждого человека и всего общества требуется понимание необходимости постоянного процесса обучения как главной задачи современной жизни. Общество, которое всегда учится, имеет больший потенциал для развития. Это значит, что образование сегодня не может быть целью, и привилегией только молодёжи, а является условием достижения успеха для каждого отдельного человека. Образование превращается в пожизненный процесс, оно становится непрерывным - а это новый взгляд на образование.