Солитонное движение маятника и вытекание жидкости из пены

Разделы: Физика


Цели:

  • изучение закономерностей вращательного движения на модели кругового маятника;
  • применение найденных закономерностей к исследованию вытекания жидкости из пен.

Задачи исследования:

  • Образовательные:
    • изучить вращение маятника и описать его математически;
    • получить на основе этого закономерности истечения жидкости из пен.
  • Воспитательные:
    • подчеркнуть взаимосвязь физической модели и ее математическим описанием как проявления одного из признаков метода познания явлений;
    • продолжить работу по развитию самостоятельности, аккуратности и внимания учащихся.
  • Развивающие:
    • продолжить работу по развитию внимания и умения творчески мыслить;
    • развивать умение находить общую природу между различными явлениями;
    • разработать физические модели для описания реальных явлений;
    • развивать умение работать в творческом коллективе;
    • применять возможности ИКТ для модельного изучения явлений в физике;
    • прививать навыки решения задач.

В настоящее время ИКТ в преподавании физики в школе занимают все более и более значимое место. Это лаборатория L-микро, виртуальные лабораторные работы, которые с интересом выполняют учащиеся, демонстрационные эксперименты, физические модели (Физикон). Так, компьютерное моделирование может стать инструментом при изучении школьной физики. Современные физические модели создаются большой группой профессионалов. Это программисты и специалисты, которые пишут сценарии. Но и учителя физики тоже не должны оставаться в стороны, им также необходимо (совместно со своими учениками) разрабатывать физические модели. Конечно, трудно конкурировать с профессионалами, но это очень интересное дело, тем более, что результаты можно использовать на уроках. Физические модели, прежде всего наглядные, позволяют давать графическую информацию, носят интерактивный характер (здесь сразу же просматривается межпредметная связь с информатикой и ИКТ). Ученики, изучая программирование на языках Visual basic или Delphi, могут активно принимать участие в разработке моделей. Интерактивная программа компьютерной физической модели позволяет учащемуся исследовать явление, представленному в той или иной физической модели. В качестве примера рассмотрим физическую модель вращения кругового маятника. Рассмотрим математический маятник в виде материальной точки, закрепленной на конце жесткого невесомого стержня, способного вращаться вокруг другого конца без трения. Эта модель рассматривается в работе [1]. Такой маятник имеет два положения равновесия: устойчивое в нижнем положении и неустойчивое в верхнем. Сила тяжести  при малейшем отклонении маятника от верхнего положения, смещает его все далее и далее из вертикального положения (рис.1).

Рис. 1

Как следует из работы [1], в отсутствии трения полная энергия маятника равна                     (1)

Уравнение (1) связывает угол отклонения  и угловую скорость . Величина  называется моментом инерции материальной точки относительно точки 0, где a – радиус вращения. За нулевой уровень потенциальной энергии принято нижнее устойчивое положение маятника. Выражение  – кинетическая энергия вращательного движения. Известно, что для маятника, совершающего колебания около нижнего положения равновесия, квадрат собственной частоты равен .                    (2) 

Введем величину кинетической энергии  , которой обладает вращающееся тело с частотой  определяемой выражением (2). Введение Eo позволит записать уравнение (1) в безразмерном виде  .                             (3)

Если E > 2mga  ( E/Eo > 4), то маятник совершает полные обороты, вращаясь в определенном направлении. При прохождении нижнего устойчивого равновесия скорость маятника максимальная, а при прохождении через верхнюю точку неустойчивого равновесия скорость минимальна. В случае E/Eo < 4 имеем нелинейное колебательное движение (углы отклонения от положения равновесия велики). Особый интерес представляет движение маятника при E = 4Eo 

При этом полная энергия маятника равна потенциальной энергии в верхнем положении E > 2mgal Этот вид движения автор работы [1] назвал лимитационным, так как он разделяет два типа движений маятника: колебательное и вращательное. Уравнение кривой (ее называют сепаратрисой), разделяющей эти два вида движения имеет вид [1]

 img36.gif (670 bytes).                                     (4)

Решение этого дифференциального уравнения выходит за рамки школьной программы, поэтому просто приведем его (ученики 11 класса уже знают производные):

                        (5) 

Это решение описывает движение кругового маятника против часовой стрелки из положения  при . При t = 0 грузик маятника проходит нижнее положение равновесия, асимптотически приближаясь с бесконечно малой скоростью к неустойчивому положению . На рис. 2 показан график этого движения. Зависимость угловой скорости от времени имеет вид:

 .                                      (6)

Рис. 2

Следуя работе [1],  при  угловая скорость (6) спадает экспоненциально, так как  , что дает

                                 (6a)

График зависимости угловой скорости показан на рис.3.

Рис. 3

С другой стороны в работе [2] такой вид движения маятника назван «солитонным». Почему получились эти различия в названиях и как правильно назвать этот интересный вид движения? В математической физике теории солитонов уделено много внимания, хотя бы потому, что они (солитоны) описывают много физических явлений в различных разделах физики. В то же время в школьной физике о них ничего неизвестно, разве что читателям книги [2]. В работе [3] обосновано, что движение вдоль сепаратрис соответствуют солитонам. Поэтому решения (5) график рис. 3 соответствуют солитонному решению уравнения под названием Sin-Гордона и получили название кинков (kink – перегиб). Солитоны ведут себя подобно частицам (окончание « -он» подчеркивает принадлежность к частице).

Рис. 4

На рис. 4 в качестве примера приведено столкновение двух кинков. Приведем некоторые физические примеры. Это, например, динамика дислокаций в кристаллах. Дислокация получается так: если удалить половину кристаллографической плоскости, то  возникнет дефект под названием дислокация. При пластической деформации (удлинение тела растет, а внешняя нагрузка не изменяется) происходит перемещение дислокации. Простейшую модель дислокации предложили в 1930 году Я.И.Френкель и Т.А.Конторова и форма этой дислокации описывалась уравнением (5). Динамика границ доменов в ферромагнетиках также описывается уравнением Sin-Гордоном, т.е. солитонами. Много можно привести примеров на эту тему. И автор данной работы вместе с учениками на кружке по физике тоже нашли интересное применение солитонов при описании явления вытекания жидкости из пенного столба. Нами использовалась методика «подвешенного столба»: наполненный пеной цилиндр переворачивался вверх дном, устанавливаясь вертикально, и объем вытекающей жидкости с нижней свободной поверхности, регистрировали по времени [4].

Рис. 5

На рис. 5 показана схема устройства для исследования вытекания жидкости из «подвешенного пенного столба».  Следуя работе [4],  рассмотрим единичный объем пены с плотностью , где К – структурный параметр пены, кратность (равна отношению объема пены к объему жидкости, из которой она получена)). Эта плотность со временем меняется по закону

 ,                                      (7) 

где Vo – плотность пены в момент времени t = 0. 

В формуле (7)  – постоянная разрушения пены, R – средний размер пенной ячейки в момент t, Ro – начальный размер ячейки. При разрушении пены вся освобождающаяся жидкость вытекает. Продифференцируем (7)

                                                          (8)

Заметим, что (8) и есть та самая экспоненциальная зависимость (6а), о которой говорилось выше, а это значит, что  вытекание жидкости можно описать зависимостью (5) и (6).  Действительно, продифференцируем (8) еще раз:

                                                                        (9)

Введем новую функцию , тогда (9) примет вид                                                                           (10)

Для пен кратностью К >>100 , тогда  и уравнение (10) перепишется в виде:

                             (11)

Интегрируя (11), получим   при t = 0 V = 1 (вся жидкость в пене), получим  С  = 0. Окончательно выражение для количества вытекающей жидкости в относительных величинах примет вид:

.                                                        (11)

В эксперименте высота столба примерно составляла 20-30 см.

На рис. 6 приведены теоретическая зависимость (сплошная линия) и экспериментальные точки. Видим, что экспериментальные точки хорошо совпадают с теоретическим графиком (в соответствии с формулой (11)). 

Рис. 6

Ввиду того, что солитоны очень интересные объекты, нами была создана программа солитонного движения кругового маятника на интерактивном языке программирования Visual Basic, который изучается в школе на уроках информатики *). На рис. 7 приведен интерфейс этой физической модели.

Рис. 7

В этой модели, вводя радиус окружности и частоту вращения, можно наблюдать, как происходит движение маятников (их в модели три), а также их траектории по сепаратрисе и собственно сами солитоны. Эта физическая модель позволит учащимся наглядно представить движение кругового маятника в предельном случае – движение по сепаратрисе.

*) В данной работе принимали участие ученики 11 класса Волков А., Василенко Р., Котов Д.

Выводы:

  1. Создана интерактивная модель солитонного движения маятника.
  2. С помощью этой модели получены оригинальные данные вытекания жидкости из пен.

Литература:

  1. Бутиков Е.И. Роль моделирования в обучении физике. Компьютерные инструменты в образовании. №5, 2002.  С. 1 – 20.
  2. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: «Наука», 1990. С. 286.
  3. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Физматлит, 2001.
  4. Канн К.Б. Капиллярная гидродинамика пен. Новосибирск. «Наука». Сибирское отделение. 1989.