Работаю очень давно (стаж более 45 лет). Не помню где (скорее всего в журнале “Математика в школе”, начало 70-х годов) познакомилась со статьей Г.В. Дорофеева “О корнях показательно-степенных функций”. Больше публикаций на эту тему не встречала. Применяла и применяю указанный материал во время итогового повторения, провожу урок-семинар (если позволяет уровень класса), затем 2-3 урока решения уравнений указанного типа. Если уровень класса не достаточен для усвоения теории решения таких уравнений, то использую его для занятий с учениками, интересующимися математикой. Материалы к уроку-семинару составлены с использованием статьи Дорофеева Г.В.
Суть вопроса: какие значения неизвестного следует считать допустимыми для уравнений, содержащих неизвестное и в основании и в показателе степени?
Рассмотрим более конкретную форму
этого вопроса: является ли число -1 корнем
уравнения 
?
Возможны три ответа:
а) да, потому, что при подстановке в
уравнение вместо 
числа -1 мы получаем верное
числовое равенство;
б) нет, так как число -1
отрицательно, а сложная показательно-степенная
(степенно-показательная) функция 
определена только если 
;
в) спорить об этом бессмысленно, поскольку
нет четкой договоренности, при каких значениях х
будет употребляться запись .
Продолжение урока см. здесь