В ходе изучения математики в нашем учебном заведении широко используются компьютеры. Все лабораторные работы проводятся с использованием Mathcad и Excel. Создаются учебные презентации, тесты в электронных оболочках, имеются готовые обучающие компьютерные программы. Для составления многовариантных заданий преподаватели широко используют программу Mathcad.
Все задания должны быть построены так, что числовые коэффициенты выражаются через некоторые параметры, например m и n. Изменяя эти параметры, преподаватель легко получает многовариантные, однотипные упражнения. Система Mathcad позволяет вывести на экран некоторые промежуточные этапы решения задач. Эти шаблоны избавят преподавателя от утомительной работы по решению однотипных задач, позволят быстро проверять студенческие работы. Даже если студент допустил при выполнении работы досадную ошибку (пропустил знак, неправильно переписал число) преподаватель быстро сможет в своём шаблоне выполнить задание с этой ошибкой и проверить правильность работы студента.
В курсе математики средних специальных учебных заведений изучается тема “Дифференциальные уравнения”. Для составления многовариантных заданий по этой теме можно использовать программу Mathcad.
Предлагаемая практическая работа состоит из десяти заданий по теме дифференциальные уравнения первого порядка, изменяя значения m и n, преподаватель легко сможет получить необходимое количество вариантов однотипных заданий по данной теме.
Во всех приведённых шаблонах в начале документа Mathcad задаются параметры m и n - это числа от 1 до 10, таким образом можно получить сто вариантов заданий.
Первое уравнение не требует сложного решения, оно содержит простейшие табличные интегралы. При его решении отрабатывается понятие разделения переменных. В шаблоне функции специально выведены отдельно, чтобы можно было легко изменять их и получать разнообразные задания. Для того чтобы проще было составлять карточки заданий, отдельно выведено само дифференциальное уравнение. Для вывода его на экран необходимо использовать жирное равно (< Сtrl > + < = >) при записи самого уравнения и команду символьных преобразований (< Сtrl > + < . >). Ответ уравнения удобно выделить, для этого выполняют команду <Формат – Свойства> и установив “Подсветку области” или “Отображение границы”. (<Рисунок1>)
Рисунок1
Для решения второго и третьего уравнений необходимо разделить переменные и выполнит замену производной функции у отношением dy/dx. Ввести в Mathcad значок производной можно комбинацией клавиш <Ctrl> + <F7>. Можно разнообразить эти уравнения, заменяя функцию синус функцией косинус или экспонентой. (<Рисунок2>)
Рисунок2
Четвёртое задание – это нахождение частного решения дифференциального уравнения. Вычислить значение С можно двумя способами. Первый способ: выполнить интегрирование в общем виде и записать уравнение относительно С, а затем вызвать на экран запись решения. При этом способе решения приходится вводить новые переменные хх и уу, в противном случае окончательный результат на экран не вывести. Второй способ: подставить значения х и у в общем виде и вычислить значение С в зависимости от m и n, а затем записать решение. (<Рисунок3>)
Рисунок3
Пятое уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, причём решается задача Коши. Во второй строке записывается уравнение, полученное после подстановки y=ux и выполнения упрощений. В третьей строке решается полученное уравнение для функции u=u(x). Затем возвращаемся к переменной у и находим частное решение. Разнообразить это задание можно, задавая положительные или отрицательные показатели экспоненты. (<Рисунок4>)
Рисунок4
Шестое уравнение также является однородным. Разные задания можно получить, изменяя знак перед выражением (m+n)2 , при этом получаем разные табличные интегралы. (<Рисунок5>)
Рисунок5
Седьмое уравнение – однородное первого порядка, но оно требует более сложных преобразований при решении. Разнообразие вариантов, кроме изменения цифр, можно достигнуть, изменяя порядок слагаемых под знаком квадратного корня, при этом аналогично предыдущему заданию получаются различные табличные интегралы. (<Рисунок6>)
Рисунок6
Восьмое уравнение – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. С помощью этого уравнения отрабатывается алгоритм решения линейных уравнений. После введения новой переменной y=uv получается уравнение, записанное в шаблоне (<Рисунок7>) под буквой а. В результате решения этого уравнения получается функция v(x) – это промежуточное решение, его вид выделен в шаблоне для упрощения проверки студенческих работ. Первоначально студенты получают запись ln(v)=p•ln(x). Для записи функции v(x) необходимо вспомнить определение логарифма и его свойства. Второй этап решения выделен в шаблоне под буквой b. На экран выведено промежуточное решение, функция u(x) и окончательное решение. Изменив, в первоначальном уравнении, знак перед дробью получим ещё одно дифференциальное уравнение. (<Рисунок8>)
Рисунок7
Рисунок8
Девятое уравнение так же является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В уравнении имеются начальные условия, требуется найти частное решение. В шаблоне выделены промежуточные решения, общее и частное решения. Разнообразить задания можно, изменяя знаки перед вторым слагаемым в левой части и перед показателем степени экспоненты. (<Рисунок9>)
Рисунок9
Последнее уравнение практической работы – линейное дифференциальное уравнение первого порядка с более сложной правой частью. (<Рисунок10>) Получить ещё ряд похожих примеров можно, изменив тангенс на котангенс, а косинус на синус. (<Рисунок11>)
Рисунок10
Рисунок11
С заданиями данной практической работы смогут справиться студенты, обладающие не очень хорошей подготовкой по математике, для более сильных студентов конечно можно составить более сложную работу.