Урок по теме "Комбинаторные задачи"

Разделы: Математика

Цели:

  1. сравнить различные виды комбинаций в комбинаторике: размещения, перестановки, сочетания;
  2. повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний;
  3. научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;
  4. решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний.

Ход урока

1. Решим задачу:

“У вас есть 9 разных книг из серии “Занимательная математика”. Сколькими способами можно:

1) расставить их на полке;
2) подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три призовых места;
3) выбрать три из них для подарка своему племяннику”

Для ответа на первый вопрос задачи вспомним:

Вопросы учителя Ответы учеников
1. Как называются различные комбинации выстраивания нескольких предметов друг за другом? – Перестановками
2. Что называется перестановками из n элементов? – Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов
3. Чем отличаются друг от друга две различные перестановки? – Порядком следования элементов
4. По какой формуле можно вычислить число всевозможных перестановок из n элементов? –
5. Рассчитаем число всевозможных перестановок из 9 книг на полке

Для ответа на второй вопрос задачи вспомним:

Вопросы учителя Ответы учеников
1. Как можно выбрать три книги из девяти для трех победителей? – Произвольно, наборы из трех книг могут отличаться либо книгами, либо порядком их дарения
2. Как можно назвать наборы из 9 книг по 3 в каждом? – Размещениями из 9 книг по 3
3. Что называется размещениями из n элементов по k элементов? – Размещениями из n элементов по k элементов – называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-размещения? – Порядком следования элементов

– Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных размещений из n элементов по k элементов? –
6. Рассчитаем число всевозможных размещений из 9 книг по 3 для победителей

Для ответа на третий вопрос задачи подумаем:

Вопросы учителя Ответы учеников
1. Важно ли для племянника в каком порядке располагаются книги в его подарочном наборе? – Нет
2. Как можно назвать комбинации из 9 книг по 3 в каждой? -Сочетаниями из 9 книг по 3
3. Что называется сочетаниями из n элементов по k элементов? – Сочетаниями из n элементов по k элементов – называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга составом
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-сочетания? – Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных сочетаний из n элементов по k элементов? –
6. Рассчитаем число всевозможных сочетаний из 9 книг на полке 3 для победителей

2. Сделаем некоторые выводы из решения задачи:

Вопросы учителя Ответы учеников
1. В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными. Для нахождения комбинаций – размещений, перестановок и сочетаний и их числа существуют специальные способы. Назовите признаки, по которым можно отличить друг от друга эти комбинации? – Порядок следования элементов

– Состав элементов
2. Зафиксируем наличие перечисленных признаков в обобщающую таблицу:
Признаки
Порядок следования элементов + – +
Состав элементов – + +

Среди перечисленных ниже задач выделить те, в которых требуется найти

а) размещения;
б) перестановки;
в) сочетания.

Номера выбранных задач и способ нахождения числа комбинаций записать в таблицу:

Вопросы
Формула      
№ задач      

Задачи:

  1. Сколько разных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если цифры в записи числа используются только один раз?
  2. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых участвуют лишь цифры 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры в записи числа не повторяются?
  3. Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из горизонтальных полос одинаковой ширины, имея четыре различных цвета?
  4. Сколькими способами можно выбрать шесть делегатов на конференцию из 150 человек?
  5. В полуфинале по шахматам участвуют 20 шахматистов, а в финал попадут только трое. Сколькими способами может образоваться финальная тройка?
  6. Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?
  7. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы A, B, C, D, E ?
  8. На тренировке 12 баскетболистов. Сколько разных пятёрок может составить тренер?
  9. Сколько разных шестерок может составить тренер из 10 волейболистов?
  10. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не “били” друг друга?
  11. Сколькими способами можно премировать одинаковыми призами троих человек из семи участников?
  12. Сколькими способами можно составить флаг из четырёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал различных цветов?
  13. В отряде 12 человек. Надо выбрать старосту и двух заместителей. Сколькими способами это можно сделать?
  14. Сколькими способами можно разместить шесть человек за столом, на котором поставлено шесть приборов?
  15. Сколько аккордов, содержащих три звука, можно взять на 12 клавишах одной октавы?
  16. Курьер должен разнести пакеты в семь различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
  17. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8? б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
  18. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

4. Решить предложенные выше задачи, используя соответствующие формулы

5. Домашнее задание

Решить №№ 12–18.

Литература:

  1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика а курсе математики общеобразовательной школы. Лекции 1-4. М., “Педагогический университет “Первое сентября”, 2006, 128 с.
  2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика а курсе математики общеобразовательной школы. Лекции 5-81-4. М., “Педагогический университет “Первое сентября”, 2006, 116 с.
  3. Макарычев Ю.Ш., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. 7-9 классы. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. М.: “Просвещение”, 2008, 78с.
  4. Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 7 класса. Санкт-Петербург, СМИО Пресс, 2008, 64с.