При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой – либо вспомогательный элемент, не присутствующий в формулировке задачи. Мы разберём основные приёмы решения геометрических задач при помощи понятия площади.
1. Приём «разрезания и складывания»
Суть: Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площадей равна площади исходного многоугольника.
Предписание 1:
а) многоугольник разбивается на такие фигуры,
площадь которых умеем вычислять;
б) находим площадь каждой фигуры, на которые
разбили многоугольник;
в) находим сумму площадей фигур;
г) полученная сумма и является площадью данного
многоугольника.
Предписание 2:
а) многоугольник разбивается фигуры;
б) составляется фигура, площадь которой умеем
находить;
в) площадь полученной фигуры и является площадью
исходного многоугольника.
После изучения данного приёма можно рассмотреть следующую задачу.
Задача. Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на неё из середины другой боковой стороны.
Решение. Пусть АВСD – данная трапеция
(AD || BC), К – середина стороны CD, КН –
перпендикуляр, опущенный из точки К на прямую АВ.
Проведём через точку К прямую, параллельную
прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с
прямой ВС и AD (рисунок 1).
Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции,
т.к. АВСD = АВСКР + РКD= АВСКР + КСМ = АВМР, т.к. DРКD =
DМКС (по II признаку): СК = КD (по условию), 
РКD = МКС (как
вертикальные), КСМ = КDР (как внутренние накрест
лежащие углы при параллельных прямых АD и ВС (ВМ)),
т.е. трапеция и параллелограмм составлены из
одинаковых частей. Поскольку площадь
параллелограмма равна произведению его
основания АВ на высоту КН, то S (ABMP) = S (ABCKP) + S (CMK),
S(ABCD) = S (ABCKP) + S (KPD) (по построению), т.к. 
KPD = CMK => S(KPD) = S(CMK)
=> S(ABCD) = S(ABMP) = KH . AB.
Рисунок 1
1а. Аддитивность
Суть: нахождение площади криволинейной трапеции с помощью первообразной.
Предписание:
а) криволинейная трапеция разбивается на части,
вычисление площадей которых не вызывает
затруднения;
б) вычисляется площадь каждой части;
в) находится сумма этих площадей;
г) данная сумма является площадью искомой фигуры.
После изучения данного приёма можно рассмотреть следующую задачу.
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х, у = 1/х, у = 0, х = e (рисунок 2).
Рисунок 2
Решение. Эту фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми х = 0 и х = e и графиком функции, который на отрезке [0;1] равен у = х, а на отрезке [1; e] равен у = 1/х. Однако написать первообразную для такой функции нелегко.
Поэтому разобьём данную криволинейную трапецию прямой х = 1 на две части. Их площади сразу находятся по формуле
2. Приём эквивалентность отношения длин сторон и площадей
Суть:
- Отношение длин отрезков можно заменить на отношение площадей треугольников.
- Отношение площадей двух подобных треугольников с одинаковыми высотами равно отношению оснований соответствующих треугольников.
- Если у двух треугольников есть равный угол, то отношение площадей этих треугольников равно отношению длин сторон, заключающих этот угол.
Предписание:
а) построение треугольника, учитывая условие
задачи;
б) нахождение по чертежу треугольников, у которых
равные высоты;
в) нахождение по чертежу треугольников с равным
углом;
г) выражение искомого отношения сторон через
площади треугольников, содержащих эти стороны;
д) нахождение площади треугольников;
е) при необходимости повторение приёма несколько
раз.
После изучения данного приёма можно рассмотреть следующую задачу.
Задача. На сторонах АВ и АС АВС взяты точки С1, В1
соответственно.
Пусть О – точка пересечения отрезков ВВ1 и СС1 (рисунок 3).
Вычислите ВО , если ВС1 = 
и СВ1 = 
.
В1О
АС1 АВ1
Рисунок 3
Решение.
S(AOC) = 1 AC . H, S(B1OC)
= 1 B1C . H =>
2
2
S(AOC) = AC = AB1 + B1C =
AB1 + 1 = 1 + 1,
S(B1OC) B1C B1C
B1C
;
; 
? 
.
Поскольку ВОС и АОС имеют общую сторону ОС,
отношение их площадей равно отношению длин
высот, опущенных на ОС. Отношение высот равно, в
свою очередь,
.
В итоге получаем, что 
.
3. Приём. Инвариантность
Суть: Различные формулы для площади позволяют получить соотношения между сторонами, высотами, периметром и т.д.
Предписание:
а) запись двух, отличных друг от друга формулы
вычисления площадей данной фигуры ( в виде S = …);
б) приравнивание правых частей формул (свойство
транзитивности);
в) нахождение неизвестной величины.
Задача. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности этого треугольника равен 1/3 одной из высот.
Решение. Пусть длины сторон a, b, c
образуют арифметическую прогрессию. Тогда
полупериметр р = 
b. Поскольку 
получаем 
3 а. Приём: инвариантность отношения
перемещений
Суть: равные фигуры имеют равные площади.
Предписание:
а) построение чертежа;
б) наилучший способ нахождения площади:
- при помощи разрезания;
- «складывания»;
- с помощью симметрии относительно прямой;
- с помощью поворота на угол;
в) вычислить площадь данной фигуры;
г) используя свойство равенства записать площадь
исходной фигуры.
Задача. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями у = 
, у = 2, х = 0.
Решение. Эта фигура станет
криволинейной трапецией, если поменять местами
оси абсцисс и ординат. Для этого отразим весь
рисунок (рис. 4) относительно прямой у = х. График
функции у = отобразится
при этом в график обратной функции у = х2,
а поскольку симметричные фигуры равны и потому
имеют равные площади, получаем 
.
Рисунок 4
3б. Суть: нахождение площади фигуры при помощи поворота на угол + 90 с центром в начале координат.
Предписание:
а) выполнить поворот вокруг точки О на угол + 90;
б) вычислить площадь данной фигуры;
в) используя свойство равенства фигур, записать
площадь исходной фигуры.
Задача. Найти площадь S фигуры,
ограниченной линиями у = 
,
у = 1, у = 2, х = 0.
Решение. Для решения задачи применим поворот вокруг точки О на угол – 90 (рис. 5).
Рисунок 5
3в. Приём. Метод остатков.
Суть: если от равных отнять равные, то получили равные.
Предписание:
а) рассматриваются многоугольники, содержащие:
- общую фигуру;
- общее основание;
- одинаковые высоты;
б) вычисляется площадь одного выбранного
многоугольника;
в) находится площадь общей части обоих
многоугольников;
г) используя свойство (формулировка данного
приёма), вычисляется площадь исходной фигуры.
Задача. Дана произвольная трапеция АВСD и проведены её диагонали (рисунок 6). Докажите, что S(АВК) = S(КСD).
Рисунок 6
Решение. Рассмотрим треугольник АВD и треугольник ACD. Они имеют равные высоты и одно и то же основание АD. Тогда S(АВD) = S(AСD).Отнимем от обеих частей этого равенства S (АКD), получим S(АВD) – S (АКD) = S(AСD) – S (АКD) => S(АВК) = S(КСD).
Все выделенные приёмы даны в таблице, помещённой в Приложении.
Задачи, в которых используется тема «Площади фигур», вызывает большие трудности на вступительных экзаменах в ВУЗы и на олимпиадах различного уровня. Причина состоит не столько в сложности подобных задач, сколько в скудности опыта при их решении, учащиеся не знают каким приёмом воспользоваться при решении задач, т.к. в учебниках недостаточно дано информации по данной теме. Поэтому:
- рассмотренные приёмы дают положительный результат при изучении данной темы;
- снимаются проблемы при подготовке к ЕГЭ;
- этот метод даёт качественный результат при решении задач.
Литература:
- Д.А. Далингер. Самостоятельная деятельность учащихся – основа развивающего обучения. Математика в школе. № 6 1994 г. стр. 17.
- Т.И. Акритиди. Применение геометрических преобразований для вычисления площади фигуры с помощью интеграла. Математика в школе. № 4 1981 г. стр. 62.
- Г.В. Дорофеев. Несколько замечаний к вычислению площадей с помощью интеграла. Математика в школе. № 4 1981 г. стр. 63.
- Н.А. Тарасенкова. Актуализация базовых знаний. Математика в школе. № 4 1994 г. стр. 9.
- Площади многоугольников (изложение темы). Математика в школе. № 3 1973 г. стр. 19.
- П.Р. Кантор, Ж.М. Раббот. Площади многоугольников. Квант. № 2 1972 г. стр. 36.
- В.В. Прасолов. Используя площадь… Квант. № 5 1986 г. стр. 16.
- В. Болтянский. О понятиях площади и объёма. Квант. № 5 1977 г. стр. 2.
- А. Виленкин, Ю. Ионин. Площадь и интеграл. Квант. № 5 1977 г. стр. 30.
- В.А. Далингер. Об одном способе доказательства. Математика в школе. № 5 1993 г. стр. 13.
- А.В. Погорелов. Геометрия 7 – 11 класс.
- Л.С. Атанасян. Геометрия 7 – 9 класс.
- В.Н. Руденко. Геометрия 7 – 9 класс.
- А.Д. Александров. Геометрия 7 – 9 класс.
- А. Бевз. Геометрия 7 – 9 класс.