Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а - это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

1. Если а = 0, то 0х = 0
   х - любое действительное число
2. Если а 0, то х =
   х = 0

Пример 2. ах = а

1. Если а = 0, то 0х = 0
   х - любое действительное число
2. Если а 0, то х =
   х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах
х - ах = -2
х(1 - а) = -2

Если 1 - а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 - а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а² - 1) х = 2а² + а - 3
(а - 1)(а + 1)х = 2(а - 1)(а - 1,5)
(а - 1)(а + 1)х = (1а - 3)(а - 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х - любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х - 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = -

6. =

Ответы:

1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

2. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

3. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х - любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

4. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

5. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

6. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = -с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а - 1)х² = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

х = -

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))² - 4(а - 1)(4а + 30 = 16а² + 16а + 4 - 4(4а² + 3а - 4а - 3) = 16а² + 16а + 4 - 16а² + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a =

a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х = - = -

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х² + 2(а + 1)х + 9а - 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1)² - 4(9а - 5) = 4а² - 28а + 24 = 4(а - 1)(а - 6)

4(а - 1)(а - 6) > 0

по т. Виета: х₁ + х₂ = -2(а + 1)
х₁х₂ = 9а - 5

По условию х₁ < 0, х₂ < 0 то -2(а + 1) < 0 и 9а - 5 > 0

В итоге

4(а - 1)(а - 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а - 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

х² - 2(а - 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а - 1)² - 4(2а + 10 = 4а² - 8а + 4 - 8а - 4 = 4а² - 16а

4а² - 16 0

4а(а - 4) 0

а(а - 4)) 0

а(а - 4) = 0

а = 0 или а - 4 = 0
а = 4

(Рис. 2)

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах² - (а + 1) х + 2а - 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х² + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а² - 6а + 8) х² + (а² - 4) х + (10 - 3а - а²) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х² + х - а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х² - 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х² +ах + 1 = 0 и х² + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Ответы:

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9^х - (а + 2)*3^х-1/х +2а*3^-2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3^2/х, получим равносильное уравнение

3^2(х+1/х) - (а + 2)*3^х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3^х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у² - (а + 2)у + 2а = 0, или

(у - 2)(у - а) = 0, откуда у₁ =2, у₂ = а.

Если у = 2, т.е. 3^х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х² - хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log²₃2 - 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3^х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х² - хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log²₃2 - 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2^2х - (а - 3) 2^х - 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t² - (a - 3) t - 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а - положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25^х - (2а + 5)*5^х-1/х + 10а * 5^-2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2^{(а-1)х?+2(а+3)х+а} = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4^х - (5а-3)2^х +4а² - 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 < а 3/4 и а = 1

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение

log_4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау² -у + 1 = 0 (4)

Если а = 0, то -

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау² - 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 - 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4) имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а < 0, т.е. при а < 0.

Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение

log₅(x = 2-a ) - log_1/5(a-1-x) = log₂₅9 имеет решение.

Решение. log₅(x + 2-a) -log₅(f - 1 - x) = log₅3

(1) х + 2 - а = 3(а - 1 - х), если

(2) а - 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 - а > 1 - а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 - а и у = 1 - а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ < 0 и а₀ - корень уравнения 2 - а = 1 - а.

Тогда 2 - а = (1- а)²

а² - а - 1 = 0

а₀ =

Ответ: < a 2

Дидактический материал

1. Найдите, при каких значениях а уравнение log ₃ (9^x + 9a³) = x имеет ровно два корня.
2. Найдите, при каких значениях а уравнение log ₂ (4^x - a) = x имеет единственный корень.
3. При каких значениях а уравнение х - log ₃ (2а - 9^х) = 0 не имеет корней.

Ответы:

1. при а < 1/3 36
2. при а = -1/4
3. при а < -1/8

Литература

1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. - М.: Просвещение, 1990.
2. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1990
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. - М.: Просвещение, 1994.
5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. - М.: Дрофа, 1998.
6. Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. - М.: Просвещение, 2001.
7. Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11-х классов. - М.: Просвещение, 1990.
8. Журналы "Математика в школе".
9. Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. - М.: Экзамен, 2001-2008.