В настоящее время существует противоречие между потребностью старшеклассников к проявлению творчества, активности, самостоятельности, самореализации и ограниченностью времени для этого на уроках математики. Начиная с 2006 года я использую учебники «Алгебра 7, 8, 9» с углубленным изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова для учащихся математических классов с целью совершения осознанного выбора учащимися профиля обучения, предоставления ученикам возможности работы на уровне повышенных математических требований, развития их учебной мотивации.
Как включить учеников в самостоятельную исследовательскую деятельность, чтобы они сами «открывали» новые свойства и отношения, а не получали их от учителя в готовом виде? Многолетний опыт работы и желание изменить в себе традиционные представления об обучении подтолкнули меня к применению исследовательской деятельности на своих уроках математики. Конечно, изменение метода работы, структуры урока и принятия на себя функции организатора процесса познания, функции обеспечивающего системное включение каждого ученика, независимо от интеллектуального уровня, в основные виды деятельности, потребовало от меня определенных знаний и готовности к саморазвитию.
Я думаю, что включение учащегося в деятельность влияет и на глубину и прочность усвоения ими знаний, и на формирование у него системы ценностей, то есть самовоспитание. Наличие у учеников способностей к саморазвитию и самовоспитанию позволит им успешно адаптироваться к постоянно изменяющимся внешним условиям, не вступая при этом в конфликт с обществом.

Тема раздела: «Свойства функций».

Тема урока: «Возрастание и убывание функций».

Тип урока: урок изучения и первичного применения нового материала.

Основные цели:

• Способствовать формированию у учащихся нового понятия монотонной функции;
• Воспитывать положительное отношение к знаниям, умение работать в парах;
• Способствовать развитию аналитического мышления, умений частично-поисковой познавательной деятельности.

ХОД УРОКА

I. Актуализация опорных знаний

- Дайте определение функции.
- Какой формулой задаются функции, графики которых изображены на чертеже. (Приложение 2)

II. Формирование новых знаний

На рисунке 1 (Рисунок 1, Приложение 1) изображен график некоторой функции у = f (х), область определения которой - промежуток [-5; 4].
При возрастании значений X от -5 до 1 значения Y возрастают, а при возрастании значений X от 1 до 4 значения Y убывают. Говорят, что функция у = f (х) на промежутке [-5; 1] возрастает, а на промежутке [1; 4] - убывает.

Эталоны: (Приложение 3)

• Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ > х₁, выполняется неравенство f(х₂) > f(х₁).
• Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ > х₁, выполняется неравенство f(х₂) < f(х₁).
• Функцию возрастающую на множестве Х или убывающую на множестве Х, называют монотонной на множестве Х.

Выясним характер монотонности некоторых видов функций: (Приложение 4)
Функция f(х) = - возрастающая. Докажем это.
Выражение имеет смысл лишь при х > 0. Поэтому D(f) = [0; +).
Пусть х₂ > х₁ > 0. Рассмотрим разность f(х₂) - f(х₁) и преобразуем ее:

f(х₂) - f(х₁) = - = ( - ) ( +) / ( +) = .

Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Это следует из того, что х₂ > х₁ > 0, > 0 и > 0. Значит, f(х₂) - f(х₁) > 0, то есть f(х₂) > f(х₁). Поэтому функция f(х) возрастающая. (Приложение 5)

III. Работа в парах (карточки с элементами частично - поисковой деятельности):

Учащиеся в парах исследуют функции на монотонность, после чего делаем выводы:
Линейная функция, то есть функция, заданная формулой f(х) = k x + b, при k > 0 является возрастающей, а при k < 0 - убывающей. (Приложение 6)
Степенная функция f(х) = хⁿ с натуральным показателем n при четном n возрастает на промежутке [0; + ) и убывает на промежутке (- ; 0]. При нечетном n функция f(х) = хⁿ возрастает на всей области определения, то есть на промежутке (- ; +). (Приложение 7)
Обратная пропорциональность, то есть функция f(х) = в каждом из промежутков (- ; 0) и (0; + ) при k > 0 убывает, а при k < 0 возрастает. (Приложение 8)

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций (Приложение 9):

• Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.
• Если функция у = f (х) является возрастающей (убывающей), то функция у = - f(х) является убывающей (возрастающей).
• Сумма двух возрастающих функций является возрастающей, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.
• Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то функция (х) = f(g(х)) - возрастающая функция.
• Если функция у = f(х) монотонна на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция g(х) = на множестве Х имеет противоположный характер монотонности.

IV. Формирование практических умений

Приведем примеры использования свойств монотонных функций:

Пример 1. (Приложение 10)

Выясним, в скольких точках прямая у = 9 пересекает график функции f(х) = + + .

Решение:

Функции у = , у = и у = - возрастающие функции (свойство 4). Сумма возрастающих функций - возрастающая функция (свойство 3). А возрастающая функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента (свойство 1). Следовательно, если прямая у = 9 имеет общие точки с графиком функции f(х) = + + , то только одну точку.
Подбором можно найти, что f(х) = 9 при х = 3. Значит, прямая у = 9 пересекает график функции f(х) = + + в точке М(3; 9).

Пример 2. (Приложение 11)

Решим уравнение х³ - + = 0.

Решение:

Легко видеть, что х = 1 - корень уравнения. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Действительно, область определения функции у = х³ - + - множество положительных чисел. На этом множестве функция возрастает, так как каждая из функций у = х³, у = - и у = на промежутке (0; +) возрастает. Следовательно, данное уравнение других корней, кроме х = 1, не имеет.

Задания для работы в парах: (Приложение 12)
Определите характер монотонности функции:

1. у = -
2. у = -
3. у = +
4. у = +

Работая в парах учащиеся проговаривают друг другу какие свойства монотонных функций использовали. (Приложение 13)
Решите уравнение: х⁵ + х³ + х = - 42.
Решите систему уравнений:

+ (х - у)3 = 2, х2 - 6у + 1 = 0.

V. Итог урока

Контрольные вопросы: (Приложение 14)

• Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций на множестве Х.
• Какая функция называется монотонной на множестве Х?
• Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.

VI. Домашнее задание (Приложение 15)

1. Докажите, что функция g(х) является убывающей функцией:

а) g(х) = , где х > - .
б) g (х) = .

2. Докажите, что функция f(х) является возрастающей функцией:

а) f(х) = .
б) f(х) = (х - 2)², где х > 2.

3. Решите уравнение: х² + - = 15.