"Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции"

Цели:

1. Повторить знания о квадратичной функции.

2. Познакомиться с методом решения квадратного неравенства на основе свойств квадратичной функции.

Оборудование: мультимедиа, презентация “Решение квадратных неравенств”, карточки для самостоятельной работы, таблица “Алгоритм решения квадратного неравенства”, листы контроля с копировальной бумагой.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (1 мин).

II. Актуализация опорных знаний (10 мин).

1. Построение графика квадратичной функции у=х²-6х+8 <Рисунок 1. Приложение>

• определение направления ветвей параболы;
• определение координат вершины параболы;
• определение оси симметрии;
• определение точек пересечения с осями координат;
• нахождение дополнительных точек.

1. а>0 – ветви параболы направлены вверх.
2. , х₀=3, у₀=у(3)=-1.
3. 
4. , х₁=2, х₂=4; у(0)=8. Точки (2;0), (4;0), (0;8).
5. У(1)=3, у(5)=3.

2. Определить по чертежу знак коэффициента a и количество корней уравнения ах²+вх+с=0. <Рисунок 2. Приложение>

3. По графику функции у=х²-4х+3 определить:

• Чему равны нули функции;
• Найти промежутки, на которых функция принимает положительные значения;
• Найти промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;
• При каких значениях х функция возрастает, а при каких убывает? <Рисунок 3>

4. Изучение новых знаний (12 мин.)

Задача 1: Решить неравенство: х²+4х-5>0.

Решение:

Неравенству удовлетворяют значения х, при которых значения функции у=х²+4х-5 равны нулю или положительны, то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или выше этой оси.

Построим график функции у=х²+4х-5.

• а>0 – ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы: , у₀=у(х₀). Х₀=-2, у₀=-9.
• Ось симметрии х=-2.
• Определение точек пересечения с осями координат:

С осью ох: Х²+4х-5=0. По теореме Виета: х₁=1, х₂=-5. Точки(1;0),(-5;0).

С осью оу: у(0)=-5. Точка (0;-5).

Дополнительные точки: у(-1)=-8, у(2)=7. <Рисунок 4>

Итог: Значения функции положительны и равны нулю (неотрицательны) при

Вопросы:

• Необходимо ли каждый раз для решения неравенства подробно строить график квадратичной функции?
• Нужно ли находить координаты вершины параболы?
• А что важно? (а, х₁,х₂)

Вывод: Для решения квадратного неравенства достаточно определить нули функции, направление ветвей параболы и построить эскиз графика.

Задача 2: Решить неравенство: х²-6х+8<0.

Решение: Определим корни уравнения х²-6х+8=0.

По теореме Виета: х₁ =2, х₂=4.

а>0 – ветви параболы направлены вверх.

Построим эскиз графика. <Рисунок 5>

Отметим знаками “+” и “–” интервалы, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения. Выберем необходимый нам интервал.

Ответ: Х€[2;4].

5. Закрепление нового материала (7 мин).

№ 660 (3). Ученик решает на доске.

Решить неравенство-х²-3х-2<0.

-х²-3х-2=0; х²+3х+2=0;

корни уравнения: х₁=-1, х₂=-2.

а<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

№ 660 (1) - Работа со скрытой доской.

Решить неравенство х²-3х+2<0.

Решение: х²-3х+2=0.

Найдем корни:  ; х₁ =1, х₂=2.

а>0 – ветви вверх. Строим эскиз графика функции. <Рисунок 7>

Алгоритм:

1. Найти корни уравнения ах²+вх+с=0.
2. Отметить их на координатной плоскости.
3. Определить направление ветвей параболы.
4. Построить эскиз графика.
5. Отметить знаками “+” и “ - ”, интервалы на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
6. Выбрать необходимый интервал.

6. Самостоятельная работа (10 мин.).

(Прием - копировальная бумага).

Лист-контроль подписывается и сдается учителю для проверки и определения коррекции.

Самопроверка по доске.

Дополнительное задание:

№ 670. Найти значения х, при которых функция принимает значения не большие нуля: у=х²+6х-9.

7. Домашнее задание (2 мин).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Заполнить таблицу:

8. Итог урока (3 мин).

1. Воспроизведите алгоритм решения неравенств.
2. Кто справился с работой на отлично?
3. Что показалось сложным?