Цели урока:

• обучающие: формирование умений открывать закономерности, находить способы решения задачи в результате обобщения, устанавливать логические связи между этапами решения задач; продолжить формирование умений решать иррациональные уравнения нестандартными способами;
• развивающие: развитие у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа ее решения; навыков исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; продолжить формирование логического мышления при переходе от частного к общему;
• воспитательные: активизация интереса к приобретению новых знаний, умений и навыков; Данный урок позволяет:
  • повторить основные теоретические понятия;
  • закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
  • возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11-го класса;
  • закрепить нестандартные приемы решения иррациональных уравнений.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Объявление темы, целей и задач урока, мотивация учения.

Продолжим совершенствовать умения и навыки решения иррациональных уравнений. Самостоятельность, ответственность, организованность во время работы поможет сделать шаг вперед по пути саморазвития, самосовершенствования.

3. Повторение и актуализация опорных знаний.

Какие уравнения называются иррациональными?

h.gif" align="absmiddle" WIDTH="73" HEIGHT="26" align="absmiddle"

О чем приходится задумываться и помнить при решении иррационального уравнения? Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала, называется иррациональным. При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а также метод введения новых переменных.

Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

Уравнение	Решение	На что обратить внимание
		;
		;
		;
		; ;	Аналогично предыдущему.

№ 1.

	ОДЗ:	Дополнительное условие:
Найденное значение не удовлетворяет дополнительному условию.

Ответ:

4. Решение уравнений нестандартными приемами.

Рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональные способы решения. № 2.

Для решения уравнения введем новую переменную:

Ответ: 3

№ 3.

1 способ	2 способ
Введем новую переменную	Возведем в куб:

Проверкой убеждаемся, что корни уравнения.

Ответ:

№ 4.

ОДЗ:

То, что , должно навести учащихся на мысль о применении тригонометрической подстановки . Тогда:

Так как

. Откуда

Но , поэтому остается . Следовательно, .

Ответ:

№ 5.

.

Данное уравнение решим искусственным приемом – домножением на сопряженное выражение, но сначала убедимся, что .

Подставим х=0 в уравнение: . - неверно => 0 – не корень (заметим, что если найденное значение является корнем, его не забыть записать в ответ!).

Пусть .

Ответ:

№ 6.

И здесь домножим на сопряженное:

Второй сомножитель не обращается в 0, а .

Проверкой убеждаемся, что х=2 корень уравнения.

Ответ:

№ 7.

ОДЗ:

Рассмотрим функцию . - абсцисса вершины параболы, следовательно левая часть уравнения – сумма возрастающих на ОДЗ функций, правая часть уравнения – постоянная. Значит, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим . Проверка: , 2=2 – верно.

Ответ:

№ 8.

ОДЗ:

1) Оценим левую часть.

Сложив неравенства (*) и (**), получим:

2) Оценим правую часть.

3) Оценив левую и правую часть уравнения, приходим к выводу, что

.

Но, подставив найденное значение в уравнение, получаем - неверно, следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

№ 9.

ОДЗ:	Дополнительное условие:

Рассмотрим более общее уравнение с параметром: , совпадающее с (*) при . Запишем (**) как квадратное относительно :

Разложим (**) на множители:

или

Вернемся к

или

- не удовлетворяет дополнительному условию.

Ответ: 1.

№ 10.

ОДЗ:

1) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что является корнем:

2)

3) Внесем под знак корня.

а) При , , :

Пусть , тогда:

Дополнительное условие:

б) При , , :

Пусть , тогда:

Дополнительное условие:

Ответ: 5; .

5. Итог урока.

Для решения иррациональных уравнений можно применять введение новой переменной; домножение на сопряженное; тригонометрическую подстановку; использование монотонности функций; метод оценки левой и правой частей уравнения. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что не всегда нужно искать область допустимых значений переменной, иногда проще в конце решения сделать проверку или следить за равносильностью преобразований. Рассмотренные методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач.