Построение графиков линейной и квадратичной функций

Данная статья не содержит графических иллюстраций. Поэтому знакомиться с ее содержанием будет удобнее, имея под рукой лист бумаги и карандаш.

1. Линейная функция

При изучении линейной функции на уроках алгебры в 7-м классе учащиеся довольно успешно осваивают способ построения прямой по двум точкам. При этом составляется таблица, в которой задаются значения х и вычисляются соответствующие значения y. Однако при построении прямой часто допускаются неточности: из-за того, что выбранные точки очень близко расположены друг к другу, построенная прямая “уходит в сторону”. Построить график линейной функции можно гораздо быстрее, если заметить определенные закономерности. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Построить график функции .

Решение Составим таблицу значений функции.

Первая точка выбирается традиционно – точка пересечения прямой с осью ординат. А дальше обратим внимание, что разность значений функции , т.е. совпадает со значением углового коэффициента заданной функции. А значит, для построения точек на координатной плоскости вся информация заложена в коэффициентах заданной линейной функции. Алгоритм построения точек следующий:

• строим первую точку ;
• переносим ее на 1 единицу вправо и две единицы вверх (это вторая точка, принадлежащая прямой):
• вторую точку снова перемещаем на 1 единицу вправо и две единицы вверх и получаем третью точку искомой прямой;
• далее все повторяется любое число раз.

Пример 2. Построить график функции .

Решение Первая точка имеет координаты . Каждая следующая получается из предыдущей смещением на 1 единицу вправо и на 3 единицы вниз.

Рассмотрим теперь случай, когда угловой коэффициент линейной функции задается дробью.

Пример 3. Построить график функции .

Решение Составим таблицу значений функции. Чтобы получить точки прямой с целочисленными координатами, возьмем значения х, кратные трем. Ну. а первая точка, по-прежнему, – точка пересечения прямой с осью ординат.

Построим точки на координатной плоскости. Видно, что каждая следующая точка получается из предыдущей сдвигом на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх. Проводим прямую.

Пример 4. Построить график функции .

Решение Первая точка имеет координаты . Заметим, что угловой коэффициент прямой . Значит, каждая следующая точка прямой будет получена из предыдущей смещением на 5 единиц вправо и на 4 единицы вниз. Строим точки и проводим прямую.

Обратите внимание, что в случае дробного углового коэффициента линейной функции знаменатель дроби указывает количество единиц для перемещения точки вправо, а числитель – количество единиц, на которые переместится точка вверх (при ) или вниз (при k<0).

2. Квадратичная функция

2.1. С графиком квадратичной функции учащиеся знакомятся еще в седьмом классе. При этом, для построения параболы, как правило, записывается таблица значений функции для , затем полученные точки строят на координатной прямой и рисуют параболу. Более продвинутые ученики записывают таблицу только для , строят полученные точки и проводят правую ветвь параболы. Затем, воспользовавшись симметрией графика относительно оси ординат, строят точки параболы для и рисуют вторую ветвь параболы.

Записи таблицы можно избежать, если заметить одну закономерность в расположении указанных точек. Посмотрим таблицу значений функции :

	0	1		2		3
	0	1		4		9

В третьей строке таблицы записана разность двух последующих значений функции. Видно, что полученные числа образуют последовательность нечетных чисел (легко убедиться, что эта закономерность выполняется и далее, например, ). Этот факт легко запоминается. А с учетом этой закономерности построить характеристические точки параболы можно так:

• первая точка – начало координат;
• вторая точка получается из первой смещением на одну единицу вправо и на одну единицу вверх;
• третья получается смещением второй точки на один вправо и три вверх;
• четвертая точка получается переносом третьей на один вправо и пять вверх;
• затем строятся точки левой ветви параболы за счет симметрии графика относительно оси ординат.

Остается провести плавную линию через полученные точки, и парабола построена.

2.2. Перейдем теперь к квадратичной функции вида , которая изучается уже в восьмом классе. Учащиеся узнают, что коэффициент а определяет направление ветвей параболы, а также растяжение или сжатие графика вдоль оси ординат. А для построения графика все равно просчитывают координаты точек. Но без этого можно обойтись, если знать указанную выше закономерность построения точек параболы . И если для нее сдвиг точек вдоль оси OY задавался последовательностью чисел , то для функции эта последовательность чисел будет .

Пример 5. Построить график функции .

Решение Графиком функции служит парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат. Для построения других точек параболы вспомним про нечетные числа , умножим их на , получаем последовательность чисел Знак говорит о том , что смещение точек будет сделано вниз. На словах алгоритм построения звучит так: от начала координат одна единица вправо и две вниз; от новой точки одна единица вправо и шесть вниз; строим точки, симметричные полученным относительно оси ординат; проводим параболу.

Пример 6. Построить график функции .

Решение Графиком функции – парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат. Для построения других точек воспользуемся последовательностью При получаем следующий порядок перемещений вдоль оси ординат . Строим точки на координатной плоскости: от точки 1 клетка вправо и полклетки вверх, от полученной точки снова одна клетка вправо и полторы клетки вверх, потом от новой точки опять одна клетка вправо и две с половиной клетки вверх и т.д. (ясно, что в указанном случае за единичный отрезок на осях координат принимается одна клеточка в тетрадном листе). Затем строим точки левой ветви параболы за счет симметрии графика относительно оси OY и рисуем параболу.

2.3. В 9-м классе учащиеся изучают квадратичную функцию . Для построения ее графика с учетом выше сказанного можно применять следующий алгоритм:

1. найти координаты вершины параболы ;
2. построить в системе координат полученную точку и провести оси вспомогательной системы координат (прямые и );
3. по коэффициенту а определить направление ветвей параболы;
4. построить во вспомогательной системе координат характеристические точки функции , следуя алгоритму пункта 2.2.
5. провести плавную линию через указанные точки. График готов.

Пример 7. Построить график функции .

Решение Графиком функции – парабола.

1. Вычисляем координаты вершины параболы: .
2. Строим точку и проводим пунктиром вспомогательные оси координат (прямые проходят через указанную точку и параллельны осям ОХ и ОY).
3. Коэффициент при х² в данной функции равен 1. Значит, для построения характеристических точек параболы применим ряд чисел 1,3,5,…. , т.е. строим стандартную параболу, но во вспомогательной системе координат (пункт 2.1.).
4. Проводим плавную линию через полученные точки. Парабола построена.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики указанных функций:

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.
9.	10.	11.	12.