Занятия 1–2. Введение в элективный курс. Виды текстовых задач и способы их решения. Текстовой задачей называется задача, в которой при определённых условиях надо найти неизвестную величину. Её обычно отождествляют с задачей на составление уравнений и неравенств с наложением области допустимых значений (ОДЗ) переменных, удовлетворяющей явным условиям задачи (описанным в тексте) и по смыслу. Но это не совсем правильно. Существует два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический, а также геометрический и графический.
Решить текстовую задачу алгебраически означает: 1.ввести удобную переменную и решить уравнение или неравенство (систему уравнений или неравенств), составленное по явным условиям, описанным в задаче; 2.выбрать из всех найденных решений те, которые подходят по смыслу задачи.
Например. Площадь прямоугольного
треугольника равна 210см, а его гипотенуза 37см.
Найти периметр этого треугольника. Данная задача
является текстовой, так как в ней словесно
описаны условия существования прямоугольного
треугольника и требуется найти его периметр.
Нахождение периметра данного треугольника
сводится к нахождению двух неизвестных катетов.
Т.о., чтобы решить эту задачу, надо: 1.ввести
удобные переменные–первый катет а см и второй
катет b см, затем, применив геометрические знания
формулы площади прямоугольного треугольника S=
аb и теорему
Пифагора, позволяющую выразить гипотенузу через
катеты с2=а2+b2, решить систему
уравнений, подставив в формулы известные данные 
аb=210, а2+b2=372;
получим4 решения системы а1=-35 и b1=35, а2=-12
и b2=-35, а3=35 и b3=12, а4=12 и b4=35;
2.выбрать те решения, которые подходят по смыслу задачи. Т.к. речь идет о сторонах треугольника, то по геометрическому свойству отрезков переменные а и b должны принимать только положительные значения, а по свойству сторон прямоугольного треугольника каждый из катетов должен быть меньше его гипотенузы. Значит, по смыслу задачи 0<a<37 и 0<b<37.Этому условию удовлетворяют только третье и четвертое решения системы. Но в силу симметричности выбора переменных (любой из двух катетов мог быть объявлен равнозначно первым или вторым) оба решения можно объединить в одно. Ответ: 37см и 12с.
Все текстовые задачи по методике решения можно подразделить на основные виды:
- текстовые задачи группы vts (задачи на движение, на производительность, на цену – количество – стоимость, на перевозку груза и заполнение ёмкостей);
- процентосодержащие текстовые задачи и задачи на доли (задачи на проценты и доли, задачи с экономическим содержанием);
- текстовые задачи на прогрессии (применение формул арифметической и геометрической прогрессий и свойств этих последовательностей);
- текстовые задачи на целые числа (использование кратности чисел и запись чисел через сумму поразрядных произведений и через неполное частное и остаток);
- текстовые задачи на оптимизацию (решение задач с помощью неравенств и элементов математического анализа).
Какова методика алгебраического способа решения текстовых задач (с помощью уравнений и неравенств)?
Стандартная схема состоит из следующих основных моментов:
1 этап. Арифметическая краткая запись условий задачи.
Цель: осмысление задачи.
Форма записи: схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи.
Важно помнить: этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями;
- на этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно “увязать” все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж; неизвестные величины удобно обозначать знаком “?”, а “главный вопрос” задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти “Ответ”, так как в некоторых задачах, содержащих неявный вопрос искомую величину приходится довычислять;
- все единицы измерения перевести в единые;
- значительно облегчает решение и делает задачу более понятной введение обозначений, общепринятых в физике, химии, геометрии, алгебре, экономике и так далее. Действуя таким образом учитель осуществляет межпредметную связь наук, изучаемых в школе и делает условия задачи более понятными;
Например: V,t,s-скорость, время, расстояние (длина пути или отрезка); р,V,m-плотность вещества, объём тела, масса тела; W,t,V–производительность, время работы, объём работы; a,b,P,S–две стороны прямоугольника, его периметр, его площадь; А0,р,n,An-первоначальная величина, процент её увеличения, количество увеличений, конечная величина после увеличения А0 на р процентов n раз; MА,СА,M–масса вещества А в растворе или в смеси, концентрация вещества А в растворе или смеси (доля), масса раствора или смеси; mn=10m+n–запись двузначного числа, где m,n–цифры;
схематический чертёж оказывает большую помощь в задачах “на движение”. Он позволяет увидеть динамику движения, а также учесть все характерные ситуации–встречи, остановки, повороты и тому подобное.
2 этап. “Легенда” или алгебраическая краткая запись условий задачи.
Цель: удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё.
Форма записи: такая, как и на 1этапе, но только вместо знаков “?” везде записать выражения с переменной.
Важно помнить:
- обычно этот этап в оформлении задачи начинается с фразы “Пусть х ед.-…,тогда…”;
- не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных; наоборот, чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения или неравенства;
- выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор переменных представляет собой список параметров, определяющих эту модель, поэтому все они должны быть независимы, и все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи;
- при введении переменных следует руководствоваться принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, при этом искомая величина может не входить в их число. Часто имеет место ситуация когда составленная по условию задачи система уравнений не позволяет однозначно определить неизвестные, однако, искомая величина, являющаяся некоторой комбинацией введенных неизвестных, находится однозначно. В большинстве задач “главный вопрос” подсказывает выбор переменной.
3 этап. Составление и решение уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).
Цель: опираясь на условия задачи составить уравнение или неравенство ( систему уравнений или неравенств ) и найти его (её) решение.
Важно помнить:
- обычно этот этап в оформлении задачи начинается словами “По условию задачи (выписать условия из текста задачи), значит,…(запись уравнения или неравенства).”;
- необходимо учитывать ОДЗ переменной (переменных) помня условия существования уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств);
- для составления уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств) из текста задачи выбираем условие (условия), которое позволяет увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы: S=vt-вычисление длины пути, пройденного телом; m=pV-вычисление массы тела; V=Wt-вычисление объёма работы;S=ab–вычисление площади прямоугольника; MА=САM-вычисление массы вещества А в смеси или растворе; An=A0(1+p)n–вычисление сложных процентов;
- если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то уравнений будет cтолько, сколько получится; в простейших ситуациях мы получаем уравнение (неравенство) с одной переменной или систему уравнений (неравенств), в которой число уравнений (неравенств) совпадает с числом неизвестных. Но, если число уравнений (неравенств) оказалось меньше числа неизвестных и при этом использованы все условия задачи, то надо попытаться выразить то, что нужно найти, через введенные неизвестные. В корректной задаче, если все условия использованы, то нужное неизвестное или нужная комбинация неизвестных обязательно найдётся.
4 этап. Анализ решения уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).
Цель: из всех найденных решений уравнений или неравенств (систем уравнений или неравенств) выбрать те, которые подходят по смыслу задачи и, по мере необходимости, довычислить искомую величину.
Важно помнить:
- обычно этот этап в оформлении задачи начинается фразой “По смыслу задачи х должна быть величиной… (натуральной, положительной, целой, принадлежащей промежутку и так далее), (проверка на выполнение условий задачи по смыслу найденного значения переменной)=>(значение х) –постороннее решение ( если смысловое условие не выполнено) или (значение х)–(записать пояснение к найденной величине, если смысловое условие выполнено).”;
- т.о., не каждое решение уравнения может являться решением задачи; особенности отбора значений переменных в различных типовых задачах будут рассмотрены ниже;
- для всякой текстовой задачи полезно провести проверку её решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.
5 этап. Ответ.
Цель: записать правильный ответ, удовлетворяющий всем описанным условиям задачи и отвечающий на её “главный вопрос”.
Рассмотрим полное решение задачи по указанной схеме.
В ходе выполнения задания курсивом выделим ту часть рассуждений, которая предназначена для записи при оформлении полного решения задачи письменно и подчеркнём фразы, которые универсально используются в записи решения большинства задач. Все “мысли вслух”, пояснения, которые обычно проговариваются устно, “высказаны” обычным шрифтом. Учить правильному оформлению решения задачи обязательно нужно, так как через это у школьников, во-первых, развивается логика мышления и математическая письменная речь, во-вторых, вырабатывается навык аргументировать каждый шаг решения и, в-третьих, исключается возможность списывания и непонимания хода решения.
(Примеры решения задач приведены в приложении)