Делимость. Курс по выбору для учащихся 8–9-х классов

Пояснительная записка.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Математические знания, представление о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры.

В школе математика является опорным предметом, обеспечивающим изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных. Математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широкому спектру специальностей. Наряду с поступающими на математические отделения и в технические вузы вступительные экзамены по математике сдают будущие физики, химики, биологи, врачи, психологи, экономисты.

На занятиях курса по выбору учащиеся углубляют и расширяют знания, получаемые на уроках, приобретают умения решать более трудные и разнообразные задачи.

При отборе вопросов, наряду с их внутри математической направленностью учтена и прикладная значимость. Степень проработки, предусмотренная программой данного курса, учитывает также возможности их углубленного рассмотрения в доступной, занимательной форме, обеспечение содержательными задачами.

Отличительной чертой данной программы является то, что она частично может быть использована в классах с углубленным изучением математики.

•   Понятие делимости. Делимость суммы и произведения. Признаки делимости. Основная теорема арифметики. Свойства деления с остатком. Бесконечность множества простых чисел. Взаимно-простые числа. (4ч)
• Сравнения по модулю. Основные свойства сравнений по модулю. (4ч)
• НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух чисел. (4ч)

Учебно-тематическое планирование.

• Знать основную теорему арифметики, уметь применять ее при решении задач.
• Знать основные свойства сравнений по модулю, уметь находить числа, сравнимые по модулю m.
• С помощью алгоритма Евклида уметь находить НОД и НОК чисел.

Примерные задачи для проведения занятий:

1. Натуральное число умножили на каждую из его цифр, получили 1995. Найдите исходное число.
2. Решите в натуральных числах уравнения: а) ; б) ху = х + у.
3. Докажите, что число имеет нечетное число делителей (включая 1 и само число), тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.
4. Сколько делителей имеет число ?
5. Докажите, что квадрат любого натурального числа либо делится на 9, либо дает при делении на 3 остаток 1.4
6. Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на три, то она делится и на 9.
7. Найдите остаток при делении числа 2001 ? 2002 + 2003⁵ на 7.
8. Найти остаток при делении 9¹⁰⁰ на 8.
9. а) Найдите последнюю цифру числа 7²⁰⁰ + 9²⁰⁰².

б) Найдите 2 последние цифры чисел 2001²⁰⁰¹, 16²⁰⁰².

10. Докажите, что при любом натуральном n выражение n³ + 5n делится на 6.
11. а) Верно ли, что – 17 ? 11(mod 7)?

б) Какой остаток при делении на 73 дает число a, если a ? – 15 (mod 73).

12. Найти остаток при делении 6¹⁰⁰ на 7.
13. Докажите свойство е).
14. Докажите, что куб любого целого числа a сравним с самим числом a по модулю 6.
15. Сумма кубов пяти натуральных чисел делится на 9. Докажите, что произведение этих чисел делится на 3.
16. Найдите НОД(2^7? 3^5? 13; 2^4? 7^2? 13³), НОК(2^7? 3^{5 ?} 13; 2^4? 7^2? 13³).
17. Докажите, что НОД(a, b)·НОК(a, b) = ab для любых натуральных a и b.
18. Чему может быть равен наибольший общий делитель чисел а) 2n + 1 и n + 1; б) 2n + 1 и 3n + 2; в) 3n + 1 и 8n + 7; г) n + 1 и n² + n + 1 при различных n?
19. С помощью алгоритма Евклида найдите а) НОД (20, 14); б) НОД (39, 102).
20. Докажите, что для любых двух чисел алгоритм Евклида заканчивается, то есть остаток становится равным 0 после конечного числа шагов.
21. Докажите что для любых целых чисел a и b НОД(a, b) равен a) НОД(a+b, b); б) НОД(a – b, b); в) НОД(a – kb, b) для любого целого k.  a и b – целые числа, r – остаток от деления a на b. Докажите, что НОД(a, b) = НОД(b, r). Докажите, что результатом алгоритма Евклида является НОД(a, b).
22. Найдите НОД.
23. На прямой сидит блоха, и прыгает всякий раз либо на 15 сантиметров вправо, либо на 21 сантиметр влево. В каких точках прямой может побывать эта блоха?
24. .Докажите, что а) если m₁ и m₂ линейно представимы через a и b, то m₁ + m₂ и m₁ – m₂ также линейно представимы через a и b; б) если m линейно представимо через a и b, то km представимо через a и b для любого целого k; в) НОД(a, b) линейно представим через a и b; г) число m линейно представимо через a и b тогда и только тогда, когда оно делится на НОД (a, b).
25. В государстве имеют хождение монеты достоинством a и b золотых, где a и b – взаимно простые натуральные числа. Докажите, что покупатель может заплатить в магазине любую сумму в целое число золотых (возможно, получив сдачу), при условии, что и у покупателя, и у продавца имеется достаточно большой запас монет каждого достоинства.

1. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом четного числа?
2. Пятая степень числа оканчивается на ту же цифру, что и само число. Почему? Для каких еще степеней это верно?
3. Квадрат целого положительного числа оканчивается на те же 2 цифры, что и само число. Что это за цифры?
4. Докажите, что ни при каком натуральном k число 3^k + 5^k не является квадратом натурального числа.
5. Найти остаток при делении (116 + 17¹⁷)^21? 7⁴⁹ на 8.
6. Докажите, что если a и b – натуральные числа, причем а² + b² делится на 21, то а² + b² делится и на 441.
7. При каких натуральных n выражение n² – 6n – 4 делится на 13?
8. Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.
9. Последовательность чисел Фибоначчи задана по следующему правилу: Ф₁ = Ф₂ = 1, при n >  1 Ф_n+1 = Ф_n + Ф_{n – 1} (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...). К числам Ф ₁₀₀ и Ф₉₉ применили алгоритм Евклида. Через сколько шагов он закончится, и чему равен его результат?
10. Числа a, b и c взаимно просты в совокупности, то есть НОД(a, b, c) = 1. Докажите, что любое целое число линейно представимо через a, b и c, то есть для любого d существуют целые x, y и z такие, что d = ax + by + cz.
11. Десятичная запись числа A состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли число A быть полным квадратом?
12. Найти все k, для которых 2^k – 1 делится на 7.
13. Докажите, что если число a + b + c делится на 6, то число a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.
14. Найдите НОД (2³⁵ + 1, 2¹⁰⁰ + 1).
15. В государстве имеют хождение монеты достоинством a и b золотых, где a и b – взаимно простые натуральные числа.

а) Докажите, что такими монетами можно набрать (без сдачи) любую сумму, начиная с 2ab золотых.

б) Найдите наибольшее число золотых, которое нельзя набрать такими монетами.

16. a и b – взаимно простые натуральные числа. В доме есть лифт с двумя кнопками, одна из которых поднимает лифт на a этажей вверх, а вторая опускает на b этажей вниз, если это возможно (например, на последнем этаже первая кнопка не работает). Докажите, что на этом лифте можно попасть с любого этажа на любой другой, если высота дома не меньше а) 2ab ; б) a + b.

1. Н.Я. Виленкин. Алгебра, учебник для 8 классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение, 2000г
2. М.Л. Галицкий. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Москва, Просвещение, 2003г
3. Л.Ф. Пичурин. За страницами учебника математики. Москва, Просвещение, 1990г

Литература для учителя:

1. И.В. Кадыров. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике. Москва, Просвещение, 1983г
2. И.И. Баврин. занимательные задачи по математике. Москва, Владос, 2003г
3. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Москва, Просвещение, 1991г